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LITTLEDREAM68VIZ
résolu

Bonjour à tous ! j'ai un DM de maths et je galère vraiment il faut que je le rend demain..
je bloque sur un exercice :
ABCD est un rectangle tel que AB = 5cm et AD = 3cm.
M est un point quelconque de [AB] ; N et P sont des points de [BC] et [AD] tels que AM = BN = DP.
On pose AM = x et on note f la fonction qui à x associe l'aire du triangle MNP.
1) Faire un dessin avec x = 2cm
2) Quel est l'ensemble de définition de f ?
3) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle MNP est-elle minimale ?
4)a) Prouver que f(x)= (x-2)² + 7/2
b) Démontrer le résultat que vous avez obtenu à la question 3.
5) Déterminer, par le calcul, la ou les valeurs de x telles que :
a) f(x) = 9/2 b) 11/2

Répondre :

GILLES2016VIZ
1) P∈[AD]⇔ 0≤DP≤AD or DP=x et AD=3 on a : 0≤x≤3 
L'ensemble de définition de f est [0;3]
2) Aire(AMP)= (AP×AM )÷2  or AP=AD-DP=3-x et AM=x 
                   = x(3-x)/2=(3x-x²)/2 
Aire(MNB)=(MB×NB)÷2  or MB=AB-AM=5-x et NB=x
               =x(5-x)/2=(5x-x²)/2 
Aire du trapeze( DCNP)= (DP+CP)×DC÷2 
                                   = (x+3-x)×5÷2 
                                   =3×5÷2
                                   =15/2
Aire du rectangle ABCD=AB×AD
                                    = 5×3
                                    = 15 

Aire(MNP)=Aire(ABCD)-[Aire(AMP)+Aire(MNB)+Aire( DCNP)]
               = 15-[(3x-x²)/2+(5x-x²)/2+15/2]
               = 15-(3x-x²+5x-x²+15)/2
               = 15-(-2x²+8x+15)/2 
               = 15-(-2x²/2+8x/2+15/2)
                   = 15+x²-4x-15/2 
   Aire(MNP)=x²-4x+15/2
donc f(x)= x²-4x+15/2
3) (x-2)²+7/2 = x²-2×2×x+2²+7/2 =x²-4x+4+7/2 
                    = x²-4x+15/2 
Donc      f(x) = (x-2)²+7/2
4)  on vient d'écrire sous forme canonique c'est à dire f(x)=α(x-2)²+β 
avec α=1>0 et β=7/2 
d'après le cours on en déduit que sur ]-∞;2] , f est décroissante et croissante sur [2; +∞[  
6) f admet un minimum égal à 7/2 atteint pour x= 2 
Par conséquent L'aire du triangle est minimal pour M situé à 2 cm du point A et ce minimum vaut 7/2 cm²=3,5cm² . 
7) f(x)=9/2 ⇔ (x-2)²+7/2 = 9/2 ⇔ (x-2)²=9/2-7/2 ⇔ (x-2)²=1⇔ x-2=1   ou    x-2=-1 ⇔ x=3 ou x=1 
     f(x)=11/2 ⇔  (x-2)²+7/2 =11/2 ⇔(x-2)²=11/2-7/2 ⇔  (x-2)²=2 ⇔                    x-2=√2 ou x-2=-√2 ⇔ x=2+√2 ou x=2-√2     
 Bon courage ! 
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