soit Ω l'univers de cette expérience aléatoire .
X la variable aléatoire définie sur Ω .
X(Ω) est l'ensemble des valeurs prises par X .
on a X(Ω)= { -2 ,3 , 8 , 18}
explication :
si la personne choisie une enveloppe vide alors elle perd sa mise qui est 2€
si la personne choisie une enveloppe de 20€ alors elle gagne 18 ( 20€ - la mise )
etc ....
LOI DE PROBABILITÉ DE X
p(x=3) = 10/100 = 0,1 car il y a 10 enveloppes de 5€ sur les 100
p(x=8)=5/100= 0,05 car il y a 5 enveloppes de 10€ sur les 100
p(x=18) = 1/100= 0,01
p(x=-2)= 1- ( p(x=3)+p(x=8)+p(x=18) )
= 1-( 0,1+0,05+0,01)
p(x=-2) = 0,84
2) l’événement " X>3" est l’événement le gain du jouer est strictement supérieur à 3€ .
P(X>3)= P(X=8)+P(X=18) = 0,05+0,01= 0,06
3) Espérance mathématique .
E(X)= -2×0,84+ 3×0,1+8×0,05+18×0,01
= -0,8
E(X) < 0 , donc le jeu n'est pas équitable !
4) soit a le prix de chaque enveloppe rendant le jeu équitable .
alors E(x)= -a×0,84+(5-a)×0,1+(10-a)×0,05+(20-a)×0,01
= -0,84a-0,5a+0,5+0,5-0,05a+0,2-0,01a
E(x) = -1,4a + 1,2
E(x)=0 ⇔ -1,4a + 1,2 =0 ⇔-1,4a=-1,2 ⇔ a= (-1,2)÷(-1,4)≈0,86 €
donc pour une mise environ de 0,86 € le jeu est équitable .
BON COURAGE !
