Bonjour,
1) en 0, -1/x tend vers -∞ donc exp(-1/x) tend vers 0
x+1 tend vers 1
Donc [tex] \lim_{x \to \ 0} (x+1)e^{-\frac{1}{x}=0 [/tex]
en +∞, -1/x tend vers 0 donc exp(-1/x) tend vers 1
x+1 tend vers +∞
Donc [tex] \lim_{x \to \ 0} (x+1)e^{-\frac{1}{x}=+∞ [/tex]
2) f'(x)=exp(-1/x)+(x+1)/x²*exp(-1/x)=(x²+x+1)exp(-1/x)/x²
exp(-1/x)≥0
x²≥0
On étudie les racines de x²+x+1 :
Δ=1-4*1*1=-3<0 donc pas de racines.
Donc x²+x+1≥0
Donc f'(x) ≥0
f est croissante sur ]0;+∞[
3) Ta(x) a pour équation :
Ta(x)=f'(a)(x-a)+f(x)=(a²+a+1)/a²*exp(-1/a)*(x-a)+(a+1)exp(-1/a)
Ta(x)=(a²+a+1)/a²*exp(-1/a)*x-(a²+a+1)/a*exp(-1/a)+(a+1)exp(-1/a)
Ta(x)=(a²+a+1)/a²*exp(-1/a)*x-exp(-1/a)/a
On cherche x tel que Ta(x)=0
Comme exp(-1/a)≠0 on se ramène à :
(a²+a+1)/a²*x-1/a=0
Soit (a²+a+1)*x=a
et x=a/(a²+a+1)
Donc Ta coupe l'axe des abscisses en a/(a²+a+1)
