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Bonjour Lillyalexandre
soit la suite (un) définie par u0=1 et Un+1=Un/(1+2Un) avec n entier naturel. on admet que pour tout entier n, Un est différent de -1/2
1. calculer u1;u2 et u3. la suite Un peut elle être une suite arithmétique?
[tex]u_1=\dfrac{u_0}{1+2u_0}=\dfrac{1}{1+2\times1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
[tex]u_2=\dfrac{u_1}{1+2u_1}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{5}[/tex]
[tex]u_3=\dfrac{u_2}{1+2u_2}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{1+2\times\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{7}{5}}=\dfrac{1}{7}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{u_1=\dfrac{1}{3}\ \ ;\ \ u_2=\dfrac{1}{5}\ \ ;\ \ u_3=\dfrac{1}{7}}[/tex]
[tex]u_1-u_0=\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3}=-\dfrac{2}{3}\\\\u_2-u_1=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{15}-\dfrac{5}{15}=-\dfrac{2}{15}[/tex]
[tex]\boxed{u_1-u_0\neq u_2-u_1}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) n'est pas une suite arithmétique.
2. on suppose que , pour tout entier n, Un est different de 0. on pose Vn=1/Un
[tex]\boxed{v_n=\dfrac{1}{u_n}}[/tex]
3. calculer v1;v2et v3
[tex]v_1=\dfrac{1}{u_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}=3[/tex]
[tex]v_2=\dfrac{1}{u_2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{5}}=5[/tex]
[tex]v_3=\dfrac{1}{u_3}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{7}}=7[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{v_1=3\ \ ;\ \ v_2=5\ \ ;\ \ v_3=7}[/tex]
4. exprimer Vn+1 en fonction de Un+1, puis en fonction de Un
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{u_n}{1+2u_n}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{2u_n}{u_n}[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+2}[/tex]
5.Montrer que la suite Vn est une suite arithmetique dont on precisera le premier terme et la raison. En deduire l expression de Vn en fonction de n
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+2[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}=v_n+2}[/tex]
Par conséquent,
la suite (vn) est une suite arithmétique de raison r = 2 et dont le premier terme est [tex]v_0=\dfrac{1}{u_0}=\dfrac{1}{1}=1[/tex]
D'où
[tex]v_n=v_0+nr\\\\\boxed{v_n=1+2n}[/tex]
6. En déduire l expression de Un en fonction de n, puis calculer u21
[tex]v_n=\dfrac{1}{u_n}\Longrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}\Longrightarrow \boxed{u_n=\dfrac{1}{1+2n}}[/tex]
D'où
[tex]u_{21}=\dfrac{1}{1+2\times21}=\dfrac{1}{1+42}=\dfrac{1}{43}[/tex]
[tex]\boxed{u_{21}=\dfrac{1}{43}}[/tex]
soit la suite (un) définie par u0=1 et Un+1=Un/(1+2Un) avec n entier naturel. on admet que pour tout entier n, Un est différent de -1/2
1. calculer u1;u2 et u3. la suite Un peut elle être une suite arithmétique?
[tex]u_1=\dfrac{u_0}{1+2u_0}=\dfrac{1}{1+2\times1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
[tex]u_2=\dfrac{u_1}{1+2u_1}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+2\times\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{1}{5}[/tex]
[tex]u_3=\dfrac{u_2}{1+2u_2}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{1+2\times\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{7}{5}}=\dfrac{1}{7}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{u_1=\dfrac{1}{3}\ \ ;\ \ u_2=\dfrac{1}{5}\ \ ;\ \ u_3=\dfrac{1}{7}}[/tex]
[tex]u_1-u_0=\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3}=-\dfrac{2}{3}\\\\u_2-u_1=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{15}-\dfrac{5}{15}=-\dfrac{2}{15}[/tex]
[tex]\boxed{u_1-u_0\neq u_2-u_1}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) n'est pas une suite arithmétique.
2. on suppose que , pour tout entier n, Un est different de 0. on pose Vn=1/Un
[tex]\boxed{v_n=\dfrac{1}{u_n}}[/tex]
3. calculer v1;v2et v3
[tex]v_1=\dfrac{1}{u_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}=3[/tex]
[tex]v_2=\dfrac{1}{u_2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{5}}=5[/tex]
[tex]v_3=\dfrac{1}{u_3}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{7}}=7[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{v_1=3\ \ ;\ \ v_2=5\ \ ;\ \ v_3=7}[/tex]
4. exprimer Vn+1 en fonction de Un+1, puis en fonction de Un
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{u_n}{1+2u_n}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{2u_n}{u_n}[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+2}[/tex]
5.Montrer que la suite Vn est une suite arithmetique dont on precisera le premier terme et la raison. En deduire l expression de Vn en fonction de n
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+2[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}=v_n+2}[/tex]
Par conséquent,
la suite (vn) est une suite arithmétique de raison r = 2 et dont le premier terme est [tex]v_0=\dfrac{1}{u_0}=\dfrac{1}{1}=1[/tex]
D'où
[tex]v_n=v_0+nr\\\\\boxed{v_n=1+2n}[/tex]
6. En déduire l expression de Un en fonction de n, puis calculer u21
[tex]v_n=\dfrac{1}{u_n}\Longrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}\Longrightarrow \boxed{u_n=\dfrac{1}{1+2n}}[/tex]
D'où
[tex]u_{21}=\dfrac{1}{1+2\times21}=\dfrac{1}{1+42}=\dfrac{1}{43}[/tex]
[tex]\boxed{u_{21}=\dfrac{1}{43}}[/tex]
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