1) P∈[AD]⇔ 0≤DP≤AD or DP=x et AD=3 on a : 0≤x≤3
L'ensemble de définition de f est [0;3]
2) Aire(AMP)= (AP×AM )÷2 or AP=AD-DP=3-x et AM=x
= x(3-x)/2=(3x-x²)/2
Aire(MNB)=(MB×NB)÷2 or MB=AB-AM=5-x et NB=x
=x(5-x)/2=(5x-x²)/2
Aire du trapeze( DCNP)= (DP+CP)×DC÷2
= (x+3-x)×5÷2
=3×5÷2
=15/2
Aire du rectangle ABCD=AB×AD
= 5×3
= 15
Aire(MNP)=Aire(ABCD)-[Aire(AMP)+Aire(MNB)+Aire( DCNP)]
= 15-[(3x-x²)/2+(5x-x²)/2+15/2]
= 15-(3x-x²+5x-x²+15)/2
= 15-(-2x²+8x+15)/2
= 15-(-2x²/2+8x/2+15/2)
= 15+x²-4x-15/2
Aire(MNP)=x²-4x+15/2
donc f(x)= x²-4x+15/2
3) (x-2)²+7/2 = x²-2×2×x+2²+7/2 =x²-4x+4+7/2
= x²-4x+15/2
Donc f(x) = (x-2)²+7/2
4) on vient d'écrire sous forme canonique c'est à dire f(x)=α(x-2)²+β
avec α=1>0 et β=7/2
d'après le cours on en déduit que sur ]-∞;2] , f est décroissante et croissante sur [2; +∞[
6) f admet un minimum égal à 7/2 atteint pour x= 2
Par conséquent L'aire du triangle est minimal pour M situé à 2 cm du point A et ce minimum vaut 7/2 cm²=3,5cm² .
7) f(x)=9/2 ⇔ (x-2)²+7/2 = 9/2 ⇔ (x-2)²=9/2-7/2 ⇔ (x-2)²=1⇔ x-2=1 ou x-2=-1 ⇔ x=3 ou x=1
f(x)=11/2 ⇔ (x-2)²+7/2 =11/2 ⇔(x-2)²=11/2-7/2 ⇔ (x-2)²=2 ⇔ x-2=√2 ou x-2=-√2 ⇔ x=2+√2 ou x=2-√2
Bon courage !
