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Bonjour Cati0erdine9rameliee
[tex]\boxed{h(t) = -5t^2 + 100t}[/tex]
2) Donner, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction h sur l'intervalle [0;20].Le coefficient de t² est négatif ==> le polynôme h(t) = -5t² + 100t admet un maximum.
La courbe représentative de la fonction h une parabole tournée vers le bas
La fonction h admet un maximum pour [tex]x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{100}{-10}=10[/tex]
Ce maximum est égal à [tex]h(10) = -5\times10^2+100\times10=-500+1000=500[/tex]
h(0) = 0 et h(20)=0
Tableau de variations de h sur [0 ; 20]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&10&&20\\ h(t)=-5h^2+100h&0&\nearrow&500&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
4)a) Vérifier que : h(t)-320 = -5(t-16)(t-4)
[tex]-5(t-16)(t-4)=-5(t\times t-4\times t-16\times t+16\times4)\\\\-5(t-16)(t-4)=-5(t^2-4t-16t+64)[/tex]
[tex]\\\\-5(t-16)(t-4)=-5(t^2-20t+64)\\\\-5(t-16)(t-4)=-5\times t^2+5\times20t-5\times64[/tex]
[tex]\\\\-5(t-16)(t-4)=-5t^2+100t-320\\\\-5(t-16)(t-4)=(-5t^2+100t)-320[/tex]
[tex]\boxed{-5(t-16)(t-4)=h(t)-320}[/tex]
b) Répondre à la question 3 par le calcul.
Résoudre h(t) > 320 revient à résoudre l'inéquation h(t) - 320 > 0.
-5(t - 16)(t - 4) > 0
Racines : t - 16 = 0 ===> t = 16
t - 4 = 0 ===> t = 4
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&4&&16&&20 \\ -5&&-&-&-&-&-&\\t-16&&-&-&-&0&+&\\t-4&&-&0&+&+&+&\\h(t)-320&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, h(t) -320 > 0 si t ∈ [4 ; 16 ].
Nous retrouvons ainsi le résultat de la question 3.
[tex]\boxed{h(t) = -5t^2 + 100t}[/tex]
2) Donner, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction h sur l'intervalle [0;20].Le coefficient de t² est négatif ==> le polynôme h(t) = -5t² + 100t admet un maximum.
La courbe représentative de la fonction h une parabole tournée vers le bas
La fonction h admet un maximum pour [tex]x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{100}{-10}=10[/tex]
Ce maximum est égal à [tex]h(10) = -5\times10^2+100\times10=-500+1000=500[/tex]
h(0) = 0 et h(20)=0
Tableau de variations de h sur [0 ; 20]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&10&&20\\ h(t)=-5h^2+100h&0&\nearrow&500&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
4)a) Vérifier que : h(t)-320 = -5(t-16)(t-4)
[tex]-5(t-16)(t-4)=-5(t\times t-4\times t-16\times t+16\times4)\\\\-5(t-16)(t-4)=-5(t^2-4t-16t+64)[/tex]
[tex]\\\\-5(t-16)(t-4)=-5(t^2-20t+64)\\\\-5(t-16)(t-4)=-5\times t^2+5\times20t-5\times64[/tex]
[tex]\\\\-5(t-16)(t-4)=-5t^2+100t-320\\\\-5(t-16)(t-4)=(-5t^2+100t)-320[/tex]
[tex]\boxed{-5(t-16)(t-4)=h(t)-320}[/tex]
b) Répondre à la question 3 par le calcul.
Résoudre h(t) > 320 revient à résoudre l'inéquation h(t) - 320 > 0.
-5(t - 16)(t - 4) > 0
Racines : t - 16 = 0 ===> t = 16
t - 4 = 0 ===> t = 4
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&4&&16&&20 \\ -5&&-&-&-&-&-&\\t-16&&-&-&-&0&+&\\t-4&&-&0&+&+&+&\\h(t)-320&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, h(t) -320 > 0 si t ∈ [4 ; 16 ].
Nous retrouvons ainsi le résultat de la question 3.
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