1)a g '(x) = 2x -1/x
= (2x² - 1) /x = 2(x² -0,5) /x = 2(x -rac(0,5) )(x+rac(0,5) ) /x
g '(x) sur I a le signe de x - rac(0,5) car x > 0
donc
g décroit jusqu'à son minimum g( rac(0,5))puis croit
g(rac(0,5))= 0,5 +1 - ln(rac(0,5) ) = 1,5 - 0,5ln(0,5) = 1,5 + 0,5 ln2 qui est positif
comme le minimum de g est un nombre positif on peut affirmer que le signe de g est POSITIF
b) f '(x)= 1 + ( 1 - lnx) / x² = x² /x² + (1-lnx) /x² = g(x) /x²
d'après a) f '(x) >0 f est donc croissante la limite de f en 0
est - inf et en +inf est + inf
2)a) pour cette équation on calcule f(x) - x et on étudie son signe
or f(x) -x = lnx /x
lnx a le signe de x - 1 et x est positif
d'où f(x) -x a le même signe que x -1
C est donc au dessous de Delta si x -1 <0
au dessus si x -1> 0
b)la limite est 0
MN² = (x-x)² + (f(x)-x)² donc la limite de MN est 0 aussi
c) delta a pour coefficient directeur 1
tangente a pour coefficient directeur f '(xA)
il faut résoudre
f '(xA)= 1 ou g(xA) = xA² donc xA² + 1 - lnxA = xA²
1-lnxA = 0 lnxA = 1 xA = e A(e ; f(e) )
f(e)= e + lne /e = e + 1/e
