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résolu

Bonjour je suis en 1èreS et je suis légèrement bloqué ... Voici mon problème :

Soit la fonction f définie sur R* par f(x) = x+1/x

On note Cf la courbe représentative de la fonction Δ la droite d'équation : y =2x

Montrer que, pour tout a≠0, les tangentes à Cf aux points d'abscisses a et 1/a se coupent sur la droite Δ

Merci pour votre aide

Répondre :

LAURANCEVIZ
t1   la tangente au point d'abscisse  a

y= f '(a)(x-a) + f(a) 

t2  la tangente au point d'abscisse    1/a 

y =f '(1/a) (x - 1/a)   + f(1/a)     or  f(a)=f(1/a) 
y=f ' (a) (x - 1/a)  +  f(a) 

M(X ;Y)   le point  d'intersection de   t1 et t2 
f '(a)(X -a) = f '(1/a) (X - 1/a) 
X (  f'(a)   -  f'( 1/a)  )   =  af '(a)   - 1/a f'( 1/a) 
or  f '(x) = 1 - 1/x²    donc   f '(a) - f '(1/a) = 1 - 1/a²  - ( 1 - a²)  =  a² - 1/a²
et
af'(a) - 1/a f'(1/a) = a( 1 - 1/a²)  - 1/a( 1-a²) = a - 1/a  - 1/a  + a = 2a - 2/a 
d'où
X(a²  -1/a²) = 2(a -1/a)     or   a² -1/a² = (a-1/a)(a+1/a)  donc
X (a-1/a)(a+1/a) = 2(a -1/a) 
X =  2/ ( a + 1/a)  =  2a / (a² +1)
Y = ( 1- 1/a²) (  2a /(a² +1 )  -a) + a + 1/a

= 2a /(a²+1)  -a   - 2/(a(a²+1) )  +  1/a + a  + 1/a
=  (2a² - 2) / (a(a²+1) )  +  2/a 
= (2a² - 2  + 2a² + 2)  / ( a (a²+1) )
=4a²  / a (a² +1 ) 
= 4a /(a² + 1)
Y= 2X
ce qui montre bien que les tangentes à Cf aux points d'abscisses a et 1/a se coupent sur la droite Δ

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