👤
KATTYKITTYBLUEVIZ
résolu

A L'AIIIIDE J'ai énormément besoin de votre aide pour résoudre ce DM !!
On a la fonction numérique f définie sur ]0;+∞[
f(x) = x - [tex] \frac{1+(lnx) ^{2} }{2x} [/tex]
1) Calculez lim(x->0+) de f(x) et interpretez le résultat graphiquement
2) a/démontrez que lim(x->+∞) [tex] \frac{(lnx) ^{2} }{x} [/tex]=0 (Vous pouvez utiliser t = √x)
b/ déduire lim (x->+∞) de f(x)
c/ Démontrez que la droite (Δ):y=x est une direction asymptotique de (Cf) (la courbe de f(x) ) au voisinage de +∞
d/ Démonter que (Δ) est au-dessus de (Cf)
3) a/ Démontrez que f '(x) = [tex] \frac{2 x^{2} +(1-lnx) ^{2} }{2 x^{2} } [/tex] (x∈ lR*+)
b/ tracez le tableau de variation de f
4) donnez l'équation cartésienne de la tangente à Cf au point (1 ; f(1) )
5) a/ Démontrez que f admet une fonction réciproque f[tex] ^{-1} [/tex] définie sur le domaine J que vous devez préciser
b/ Démontrez que f[tex] ^{-1} [/tex] est dérivable sur 1/2 et puis calculez [tex] (f^{-1} )' (1/2)[/tex]
MERCI D'AVANCE

Répondre :

LAURANCEVIZ
1)  lim(x->0+) de x =  0+  et   lim(x->0+) de 2x =  0+
lim(x->0+) de( 1 + (ln x)² )  =  + inf 
on en déduit que  lim(x->0+) de f(x) =   - inf

 interpretez le résultat graphiquement : la droite  d'équation  x= 0  est une asymptote  verticale

2) a)lim(x->+∞)    = lim(t->+∞)   ( ln(t²) ²  / t²  
= lim(t->+∞)   ( ln(t²)   / t )²   =  lim(t->+∞)   ( 2ln(t)   / t )² =0 
b)de plus :lim(x->+∞) 1/(2x) = 0  d'où    
lim(x->+∞) f(x) =  lim(x->+∞) x  =  + inf
c)  il faut prouver que   lim(x->+∞) f(x)/x =1 
or  f(x)/x =     1 - 1/(2x²)   - 1/2*(lnx/x)²    et comme
lim(x->+∞)   1/(2x²) =  lim(x->+∞)   1/2*(lnx/x)² =0  alors
lim(x->+∞) f(x)/x =1 

d) x   - f(x)  =        qui est positif   donc  (Δ) est au-dessus de (Cf)
3)a)  f(x) =  1 -  1/(2x)   -  (lnx)² / (2x)
f '(x)=  1  + 1/(2x²)  - [ 2lnx/x (2x)  -  2lnx²] /(4x²) 
=  1 + 1/(2x²)  -[ 4 lnx  -2 (lnx)² ] / (4x²)
= [2x²  + 1 - 2lnx  +  (lnx)²] / (2x²) = [2x² + (1-lnx)² ] /(2x²)
b)f croit sur  ] 0; +inf[   elle croit de  - inf à + inf
4) f(1)= 1 - 1 = 0     f '(1)= 3/2 
T  y = 3/2(x-1) 
5)a) f est croissante sir  I  = ]0 ; +inf[  et  f(I)=J=]- inf ; +in f[
J
b) si  f(x)= y    alors   x = f-1(y)    et     f( f-1(y) ) = y
f '-1(y)  * f' ( f-1(y) ) = 1     d'où  f'-1(y)=  1 / f' ( f-1(y))
f ' -1( 1/2)  =  1 / f '( f-1(1/2) )
f-1(1/2)= x  si   f(x)= 1/2   c'est à dire   x=1  car  f(1)= 1 - (1+0)/2 = 1/2 
f'-1(1/2) = 1/f'(1)= 2/3

Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !


Viz Asking: D'autres questions