Salut,
1. On peut calculer de PGCD des entiers et montrer que celui-ci vaut 1.
Donc,
Soit d le PGCD de n et 2w+1.
d divise n et d divise 2n+1 donc d divise 2n+l-2n=l.
D'où d=1.
Nous avons alors: PGCD(n; 2n+1)=1.
Or, les entiers n et 2n sont premiers entre eux.
La proposition est donc vraie.
On utilise le théorème de Bezout: a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers ∈ Z, u et v tels que au+bv=1.
En prenant u=1 et v=-2, on a 1*(2n+1)-2n=1.
Donc, d'après le théorème de Bezout, n et 2n+1 sont premiers entre eux.
2. Il faut résoudre dans Z² une équation du type ax+by=c.
On cherche ici le PGCD de a et b à l'aide de l'algorithme d'Euclide, que tu connais sûrement.
PGCD(24; 35)=1.
Si d divise c, on pose a=a'd; b=b'd; c=c'd et on ramène l'équation à la forme a'x+b'y=c' où a' et b' sont premiers entre eux.
Comme PGCD(24; 35)=1, 24 et 35 sont premiers entre eux, on travaille donc directement sur l'équation 24x+35y=9.
(À l'aide de l'algorithme d'Euclide, on cherche une solution particulière de l'équation a'x+b'y-1, d'où on déduit une solution particulière de l'équation a'x+b'y=c'.
Par l'algorithme d'Euclide, on a:
35=24*1+11
24=11*2+2
11=2*5+1
d'où, 1=11-2*5.
1=11-5*[24-11*2]
1=11*11-24*5
1=11*(35-24*l)-24*5
1=-16*24+11*35 et 9=-144*24+99*35
Tu vois donc, que le couple (-144; 99) est solution de l'équation proposée.
Mais, il faut maintenant ramener l'équation à la forme a'x+b'y=a'x0+b'y0 où (x0; y0) est une solution particulière.
On va donc appliquer le théorème de Gauss à a'(x-x0)=b'(y0-y).
On a donc 24x+35y=-144*24+99*35.
D'où, 24(x+144)=35(99-y).
Comme 24 divise 35(99-y) et est premier avec 35, alors 24 divise (39-y), donc il existe un entier k dans Z tel que 99-y=24k, soit y=99-24k.
On en déduit que x=35k-144 (k ∈ Z).
La proposition est donc fausse, mais tu remarques que tu aurais pu conclure directement, si k=1, alors x=-74 et y=75. Or 24*(-74)+35*75=849.
La matrice maintenant:
A=[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&4\\2&3\end{array}\right] [/tex]
Tu sais, normalement que l'inverse de la matrice A, est A^-1 (pas A/1, attention).
Donc, grâce à la technique du pivot de Gauss, tu peux inverser "rapidement" ta matrice (2*2, c'est rapide... Fin, bref).
TOUT D'ABORD, on calcule det(A).
det(A)=1*3-2*4
det(A)=3-8
det(A)=-5≠0, donc la matrice est inversible.
Voilà, une fois ça fait, on va s'attaquer aux calculs, à faire avec soin.
On va poser A, et la matrice identité [tex] \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] [/tex], et donc, il faut ramener A, à la forme de la matrice identité.
On commence par 2, puis 4, et enfin 3.
[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&4\\2&3\end{array}\right]_{L2\ \textless \ =L2-2L1} \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]_{L2\ \textless \ =L2-2L1} [/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&4\\0&-5\end{array}\right]^{L1\ \textless \ =L1-L2( \frac{-4}{5}) }
\left[\begin{array}{ccc}1&0\\-2&1\end{array}\right]^{L1\ \textless \ =L1-L2( \frac{-4}{5}) }
[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-5\end{array}\right]_{L2\ \textless \ =L2/(-5) \left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{-5} & \frac{4}{5} \\-2&1\end{array}\right]_{L2\ \textless \ =L2/(-5)[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{-5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{-5} \end{array}\right][/tex]
Voilà pour les calculs, nous vons donc la matrice inverse à A, A^-1, tu peux la vérifier en faisant A*A^-1; tu verras qu'en faisant le produit, tu retomberas sur la matrice identité.
A^-1=[tex]\left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{-5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{-5} \end{array}\right][/tex]
