Répondre :
Salut,
La première réponse est incorrecte.
Pour la première question, soit tu utilises un arbre pour voir les différents cas possibles, soit tu utilises une formule vue dans le cours si tu as fait le chapitre sur la loi binomiale.
Admettons que tu n'aies pas vu ce chapitre : tu peux faire un arbre en notant [tex]C[/tex] l'évènement "cousin rencontré" et donc [tex]\overline{C}[/tex] l'évènement "cousin non rencontré".
Ensuite, tu commences à faire ton arbre, sur trois niveaux, chaque niveau représentant un cousin. Donc pour le premier cousin, tu mets deux branches, l'une avec [tex]C[/tex], l'autre [tex]\overline{C}[/tex], et tu peux mettre la probabilité sur chaque branche, qui est [tex]\dfrac 15[/tex] pour [tex]C[/tex] et [tex]\dfrac 45[/tex] pour [tex]\overline{C}[/tex]. Tu continues ensuite en "doublant" à chaque fois, ce qui donne quatre branches pour le deuxième cousin et huit branches en tout pour le troisième.
Tu peux alors écrire les issues de ton expérience aléatoire sous la forme d'un triplet, par exemple [tex](C, \overline{C}, C)[/tex] représente l'issue "Thierry a rencontré le premier et le troisième cousin, mais pas le deuxième."
La probabilité d'une issue s'obtient en multipliant les poids se trouvant sur chaque branche qui mène à l'issue. Par exemple, pour l'issue que je viens de citer, la probabilité est [tex]P(C,\overline{C},C)=\dfrac 15\times\dfrac 45\times\dfrac 15=\dfrac 4{125}[/tex]. Il ne te reste plus qu'à regarder les issues qui t'intéressent par rapport à chacun des évènements [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex], et d'additionner la probabilité de chaque issue. Attention, "au moins un" signifie "un, deux ou les trois" cousins. Une manière plus courte de calculer la probabilité de l'évènement [tex]A[/tex] est de passer par l'évènement contraire [tex]\overline{A}[/tex], car le contraire d'"au moins un" est "aucun".
Je rappelle que [tex]P(A)=1-P(\overline{A})[/tex].
L'autre façon de trouver la réponse en utilisant une formule est d'utiliser la loi binomiale [tex]X=B(n,p)[/tex] (ici, [tex]n[/tex] vaut [tex]3[/tex] et [tex]p[/tex] vaut [tex]\dfrac 15[/tex] et d'utiliser la formule [tex]P(X=k)=\binom{N}{k}p^k(1-p)^k[/tex] en passant par la formule de l'évènement contraire. Ceci dit, on peut s'en passer étant donné que l'on est dans un cas particulier assez simple.
Pour l'évènement [tex]B[/tex], je te conseille de donner le résultat sous la forme d'une fraction plutôt que l'écriture décimale, beaucoup plus longue à écrire. Si tu as une TI, tu peux appuyer sur MATH puis entrer pour convertir ton résultat en fraction.
Bon courage ! ;-)
La première réponse est incorrecte.
Pour la première question, soit tu utilises un arbre pour voir les différents cas possibles, soit tu utilises une formule vue dans le cours si tu as fait le chapitre sur la loi binomiale.
Admettons que tu n'aies pas vu ce chapitre : tu peux faire un arbre en notant [tex]C[/tex] l'évènement "cousin rencontré" et donc [tex]\overline{C}[/tex] l'évènement "cousin non rencontré".
Ensuite, tu commences à faire ton arbre, sur trois niveaux, chaque niveau représentant un cousin. Donc pour le premier cousin, tu mets deux branches, l'une avec [tex]C[/tex], l'autre [tex]\overline{C}[/tex], et tu peux mettre la probabilité sur chaque branche, qui est [tex]\dfrac 15[/tex] pour [tex]C[/tex] et [tex]\dfrac 45[/tex] pour [tex]\overline{C}[/tex]. Tu continues ensuite en "doublant" à chaque fois, ce qui donne quatre branches pour le deuxième cousin et huit branches en tout pour le troisième.
Tu peux alors écrire les issues de ton expérience aléatoire sous la forme d'un triplet, par exemple [tex](C, \overline{C}, C)[/tex] représente l'issue "Thierry a rencontré le premier et le troisième cousin, mais pas le deuxième."
La probabilité d'une issue s'obtient en multipliant les poids se trouvant sur chaque branche qui mène à l'issue. Par exemple, pour l'issue que je viens de citer, la probabilité est [tex]P(C,\overline{C},C)=\dfrac 15\times\dfrac 45\times\dfrac 15=\dfrac 4{125}[/tex]. Il ne te reste plus qu'à regarder les issues qui t'intéressent par rapport à chacun des évènements [tex]A[/tex] et [tex]B[/tex], et d'additionner la probabilité de chaque issue. Attention, "au moins un" signifie "un, deux ou les trois" cousins. Une manière plus courte de calculer la probabilité de l'évènement [tex]A[/tex] est de passer par l'évènement contraire [tex]\overline{A}[/tex], car le contraire d'"au moins un" est "aucun".
Je rappelle que [tex]P(A)=1-P(\overline{A})[/tex].
L'autre façon de trouver la réponse en utilisant une formule est d'utiliser la loi binomiale [tex]X=B(n,p)[/tex] (ici, [tex]n[/tex] vaut [tex]3[/tex] et [tex]p[/tex] vaut [tex]\dfrac 15[/tex] et d'utiliser la formule [tex]P(X=k)=\binom{N}{k}p^k(1-p)^k[/tex] en passant par la formule de l'évènement contraire. Ceci dit, on peut s'en passer étant donné que l'on est dans un cas particulier assez simple.
Pour l'évènement [tex]B[/tex], je te conseille de donner le résultat sous la forme d'une fraction plutôt que l'écriture décimale, beaucoup plus longue à écrire. Si tu as une TI, tu peux appuyer sur MATH puis entrer pour convertir ton résultat en fraction.
Bon courage ! ;-)
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