Bonjour Supersong
1) La médiatrice du segment [AB] est l'ensemble des points du plan situés à égales distances des extrémités A et B du segment [AB].
Pour montrer que le point D appartient à la médiatrice du segment [AB], montrons que AD = BD.
[tex]AD=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}\\\\AD=\sqrt{(3+4)^2+(1-2)^2}[/tex]
[tex]\\\\AD=\sqrt{7^2+(-1)^2}\\\\AD=\sqrt{49+1}[/tex]
[tex]\boxed{AD=\sqrt{50}}[/tex]
[tex]BD=\sqrt{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}\\\\BD=\sqrt{(3-4)^2+(1+6)^2}[/tex]
[tex]\\\\BD=\sqrt{(-1)^2+7^2}\\\\BD=\sqrt{1+49}[/tex]
[tex]\boxed{BD=\sqrt{50}}[/tex]
D'où, [tex]AB=BD(=\sqrt{50})[/tex]
Par conséquent, le point D appartient à la médiatrice du segment [AB].
2) [tex]CD=\sqrt{(x_D-x_c)^2+(y_D-y_C)^2}[/tex]
[tex]CD=\sqrt{(3-8)^2+(1-6)^2}\\\\CD=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2}\\\\CD=\sqrt{25+25}\\\\\boxed{CD=\sqrt{50}}[/tex]
Or [tex]AD=\sqrt{50}[/tex]
D'où AD = CD.
Par conséquent, le triangle ADC est isocèle en D.
3) Nous avons montré que AD = BD = CD.
Donc le point D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
4) Nous savons que le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le point d'intersection des trois médiatrices des côtés du triangle.
Nous avons montré que D appartenait à la médiatrice de [AB] et nous savons que D est le point d'intersection des trois médiatrices.
Nous en déduisons que la droite (CD) est la médiatrice du segment [AB].
Par conséquent, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
