La démonstration est un peu longue car on utilise 3 théorèmes différents, mais, si on procède par étapes, tu verras que tout est, en fait, très logique.....
- [NT] est un diamètre du cercle C
S est sur ce cercle C
D'après la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle
rectangle, SNT est un triangle rectangle en S et NT en est l'hypoténuse.
- SNT est un triangle rectangle en S.
D'après le théorème de Pythagore, on a donc NT² = SN² - ST² = 2,5² + 3,25² = 16,8125
Donc : NT = √16,8125 ≈ 4,100304866714181.....
- SNT est un triangle rectangle en S, donc : (ST) ⊥ (QN)
VQN est un triangle rectangle en Q, donc : (VQ) ⊥ (QN)
(ST) et (VQ) ⊥ (QN) ⇒ (ST) // (VQ)
On va donc pouvoir utiliser le théorème de Thalès pour calculer NV
- D'après le théorème de Thalès, on a : NT/NV = ST/QV
Donc : √16,8125 / NV = 2,5 / 10
Donc : NV = √16,8125 / (2,5 / 10) ≈ 16,401219466856..... = √269
- Le triangle VQN est rectangle en Q, donc, d'après le théorème de
Pythagore, on a : VN² = VQ² + QN² donc (√269)² = 10² + QN²
Donc : QN² = 269 - 10² = 169
Donc : QN = √169 = 13
- Le triangle MQN sera rectangle en M si on a : QN² = MQ² + MN²
QN² = 13² = 169
MQ² + MN² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
On a bien l'égalité QN² = MQ² + MN²
Le triangle MNQ est donc bien rectangle en M
