Bonjour Charlotinami
[tex]\dfrac{-2x}{x^2+x+2}\ \textless \ 1\\\\\dfrac{-2x}{x^2+x+2}-1\ \textless \ 0\\\\\dfrac{-2x}{x^2+x+2}-\dfrac{x^2+x+2}{x^2+x+2}\ \textless \ 0\\\\\dfrac{-2x-x^2-x-2}{x^2+x+2}\ \textless \ 0\\\\\dfrac{-x^2-3x-2}{x^2+x+2}\ \textless \ 0\\\\\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+x+2}\ \textgreater \ 0\\\\\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2+x+2}\ \textgreater \ 0[/tex]
Tableau de signes du quotient.
Racines :
Numérateur : x + 1 = 0 ==> x = -1
x + 2 = 0 ==> x = -2
Dénominateur :
x² + x + 2 = 0
Δ = 1² - 4*1*2 = 1 - 8 = -7 < 0 ==> pas de racine.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-2&&-1&&+\infty \\x+2&&-&0&+&+&+&\\x+1&&-&-&-&0&+&\\x^2+x+2&&+&+&+&+&+&\\\frac{(x+1)(x+2)}{x^2+x+2}&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^2+x+2}\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-2[\ \cup\ ]1;+\infty[[/tex]
L'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty;-2[\ \cup\ ]1;+\infty[}[/tex]
