Bonsoir SoufianBOUAZAMA
Soit [tex]A(x\ ;\ \dfrac{\ln x}{x^2})[/tex]
Si x ≥ 1, alors l'aire du rectangle ABCD est [tex]S(x)=x\times\dfrac{\ln x}{x^2}[/tex]
ou encore [tex]S(x)=\dfrac{\ln x}{x}[/tex]
Si x ≤ 1, alors l'aire du rectangle ABCD est [tex]S(x)=x\times(\dfrac{-\ln x}{x^2})[/tex]
ou encore [tex]S(x)=\dfrac{-\ln x}{x}[/tex]
1er cas : x ≥ 1.
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=\ \ ?\\\\Si X=\ln x,\ alors\ x=e^X\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{X}{e^X}=0[/tex]
D'où [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0}[/tex]
[tex]S(x)=\dfrac{\ln x}{x}\\\\S'(x)=\dfrac{(\ln x)'\times x-\ln x\times x'}{x^2} \\\\S'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}\\\\\boxed{S'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}}[/tex]
Signe de la dérivée;
Racines :
numérateur : 1-ln x = 0 ==> ln x = 1 ==> x = e
dénominateur : x² = 0 ==> x = 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&1&&e&&+\infty \\ 1-\ln x&&+&0&-&\\x^2&&+&+&+&\\S'(x)&&+&0&-&\\S(x)&0&\nearrow&\frac{1}{e}\approx0,3679&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, si x ≥ 1, l'aire du rectangle ABCD est maximale si x = e.
Cette aire maximale est égale à 1/e (unité)².
Cette aire est nulle si x = 1.
Cette aire tend vers 0 si x tend vers +oo.
2ème cas : 0 < x ≤ 1
[tex]S(x)=\dfrac{-\ln x}{x}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to0^+}S(x)=+\infty[/tex]
[tex]\boxed{S'(x)=\dfrac{\ln x-1}{x^2}}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccc|} x&0&&1\\ \ln x-1&&-&\\x^2&&+&\\S'(x)&&-&\\S(x)&+\infty&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, si 0 < x ≤ 1, l'aire du rectangle ABCD est strictement décroissante.
Cette aire tend vers +oo si x tend vers 0.
Cette aire est nulle si x = 1.
