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résolu

Bonjour à tous, je suis en première S et j'ai un devoir maison de maths que j'ai du mal à comprendre.. voici l'énoncé :
Le mathématicien Edouard LUCAS inventa un jeu de réflexion mathématique, présenté sous la forme d'une légende : la légende de la tour de Brahma.

La légende est la suivante :
"Sur une des trois aiguilles de diamant, Dieu enfila 64 disques d'or, le plus large reposant à la bas des autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu'au sommet. Les prêtres du temple doivent déplacer les disques, nuit et jour selon les règles de la tour de Hanoï. Quand la tour sera reconstruite, ce sera la fin des mondes. Quel temps faudra-t-il pour transférer les 64 disques d'une aiguille à une autre ?"

Les règles de ce jeu mentionnées dans le texte ci-dessus sont les suivantes :
-on ne déplace qu'un disque à la fois
-on ne dépose jamais un disque sur un disque plus petit

On note Un (u indice n) le nombre minimum de déplacements nécessaires pour transporter une tour n étages d'une aiguille à une autre.

les questions sont les suivantes :

1) Déterminez U1 et U2
2) Exprimez Un+1 en fonction de Un
3) Prouver alors que, pour tout entier n > 1, Un = 2^n-1 (2 puissance n - 1)
4) Avec un déplacement par seconde, évaluer le nombre d'années nécessaires pour reconstruire la tour de Brahma.

Je n'arrive pas pour la question 1 donc je n'ai pas encore vraiment cherché les autres... Si quelqu'un pour m'aider ce serait vraiment gentil..
Bonne journée à tous

Bonjour À Tous Je Suis En Première S Et Jai Un Devoir Maison De Maths Que Jai Du Mal À Comprendre Voici Lénoncé Le Mathématicien Edouard LUCAS Inventa Un Jeu De class=

Répondre :

donc je me lance. Comme on a vu, un seul disque = 1 seul déplacement donc U1 = 1.
2 disques : le petit à gauche, le grand à droite, le petit sur le grand : 3 déplacements, U2 = 3 = 2U1+1
On suppose que c'est vrai pour n disques : Un = 2U(n-1) + 1 = 2^n -1
Vérifions que c'est vrai pour n+1 disques:
U(n+1) = 2 Un + 1 = 2*[2^(n)-1] + 1 = [2^(n+1) - 2] +1 = 2^(n+1) - 1
Je ne suis pas très sûre de moi mais je pense que ça colle, au moins j'arrive à faire quelque chose même si ça paraît un peu tiré par les cheveux.
Pour 64 disques, n=64 donc t = 2^( 64) - 1 secondes  (calculatrice) puis /3600 (en heures) /24 (en jours) / 365 (en années, ou peut-être par 365,25?) ≈ 584 942 417 355 ans≈ 5 849 424 173 siècles ≈ presque 6 milliards de siècle (?)

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