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résolu

Bonjours, pourriez vous m'aider à se DM URGENT c'est pour demain s'il vous plait.
On s’intéresse à la zone au sol qui est éclairée la nuit par deux sources de lumière : le lampadaire de la rue et le spot fixé en F sur la façade de l’immeuble
On réalise le croquis ci-contre qui n’est pas à l’échelle, pour modéliser la situation :
On dispose des données suivantes :
PC = 5,5 m ; CF = 5 m ; HP = 4 m ;
 MFC = 33° ;  PHL = 40°.
1) Justifier que l'arrondi au decimetre de la longueur PL est égal à 3,4 m .
2) Calculer la longueur de LM correspondant à la zone éclairée pas les deux sources de lumiere. On arrondies la réponse au decimetre.
3)On effectue des réglages du spot situé en F afin que M et L soient confondus . Déterminer la mesure de l'angle CFM. On arrondira la réponse au degré. Merci d'avance

Répondre :

Bonjour Lamae28olyne

1) Dans le triangle PHL rectangle en P, nous avons : 
[tex]\tan(\widehat{PHL})=\dfrac{PL}{HP}\\\\\tan(40^o)=\dfrac{PL}{4}\\\\PL=4\times\tan(40^o)\approx3,356\approx3,4[/tex]

Par conséquent, 
la longueur de PL est environ égale à 3,4 m (arrondi au dm)

2) Dans le triangle MFC rectangle en C, nous avons :

[tex]\tan(\widehat{MFC})=\dfrac{MC}{CF}\\\\\tan(33^o)=\dfrac{MC}{5}\\\\ MC=5\times\tan(33^o)\approx3,2[/tex]

D'où : LM = PL + MC - PC
LM ≈ 3,4 + 3,2 - 5,5 
LM ≈ 1,1  

Par conséquent, 
la longueur de LM correspondant à la zone éclairée par les deux sources de lumière est environ égale à 1,1 m (arrondi au dm)

3) Les points M et L sont confondus.

D'où  MC = PC - PL
MC ≈ 5,5 - 3,4
MC ≈ 2,1 m.

Donc 
 
[tex]\tan(\widehat{MFC})=\dfrac{MC}{CF}\\\\\tan(\widehat{MFC})\approx\dfrac{2,1}{5}\\\\\tan(\widehat{MFC})\approx0,42\\\\\widehat{MFC}=\tan^{-1}(0,42)\\\\\boxed{\widehat{MFC}\approx23^o}[/tex]

Par conséquent,
la mesure de l'angle CFM est égale à 23° (arrondi au degré)
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