Bonjour Maxence12
Partie A
1) f(1) = 2 (voir graphique)
f'(4) = 0 car la tangente à la courbe au point d'abscisse 4 est horizontale.
[tex]2)\ f(x)=ax+b\ln(x)+1\Longrightarrow f'(x)=a+b\times\dfrac{1}{x}\\\\\Longrightarrow \boxed{f'(x)=a+\dfrac{b}{x}}\\\\\Longrightarrow \boxed{f'(4)=a+\dfrac{b}{4}}[/tex]
[tex]3)\ \left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f'(4)=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a +b \ln(1)+1 = 2\\1+\dfrac{b}{4}=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a +b\times0+1 = 2\\1+\dfrac{b}{4}=0 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a +1 = 2\\\dfrac{b}{4}=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}a = 1\\b=-4 \end{matrix}\right.}[/tex]
Partie B.
f(x) = x - 4ln(x) + 1
[tex]1)\ \left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0}(x+1)=1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}-4\ln x=+\infty\\\lim\limits_{x\to0}(x+1)=1 \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty}[/tex]
D'où la droite d'équation x = 0 est une asymptote verticale à la courbe.
2) Pour tout x > 0, nous avons :
[tex]f(x)=x(1-4\times\dfrac{\ln x}{x})+1\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}(1-4\times\dfrac{\ln x}{x})=1\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}x(1-4\times\dfrac{\ln x}{x})=+\infty\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}[/tex]
[tex]3)\ f'(x)=1-\dfrac{4}{x}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{x-4}{x}}[/tex]
Tableau de signes de f'(x) et variations de f.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&4&&+\infty \\ x-4&-&-&0&+&\\x&0&+&+&+&\\f'(x)&||&-&0&+&\\f(x)&||&\searrow&5-4\ln4&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
4) Une équation de la droite T tangente à la courbe au point d'abscisse 1 est de la forme : y = f '(1)(x - 1) + f(1)
Or f(1) = 2 et [tex]f'(1)=1-\dfrac{4}{1}=1-4=-3[/tex]
Donc
[tex]T:y=-3(x-1)+2\\\\T:y=-3x+3+2\\\\\boxed{T:y=-3x+5}[/tex]
L'abscisse du point d'intersection de T avec l'axe des abscisses est la solution de l'équation -3x + 5 = 0
3x = 5
x = 5/3.
Les coordonnées du point d'intersection de T avec l'axe des abscisses sont [tex]\boxed{(\dfrac{5}{3};0)}[/tex]
