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AMACHMA1MAYASMINA71VIZ
résolu

Salut !

Un définie par : U0=8 ; Un+1= 1/2Un + 3
1)a) Calculer U1, U2, U3 et U4 sous forme de fractions irréductibles.
b) la suite (Un+1) est arithmétique ou géométrique? justifier

2) On pose Vn=Un-6
a) calculer les 4 premiers termes de la suite (Vn), conjecturer la nature
de la suite (Vn).
b) Démontrer la conjecture.
c)En déduire l’expression de Vn en fonction de n puis celle de Un

3) Ecrire un algorithme qui calcule les n premiers termes de la suite (Vn).Partage ce devoir avec tes amis !Un définie par : U0=8 ; Un+1= 1/2Un + 3
1)a) sous forme de fractions irréductibles.
b) la suite Un+1 est arithmétique ou géometrique? justifier

2) On pose Vn=Un-6
a) calculer les 4 premiers termes de la suite (Vn), conjecturer la nature
de la suite (Vn).
b) Démontrer la conjecture.
c)En déduir l'éxpression de Vn en fonction de n puis celle de Un

3) Ecrire un algorithme qui calcule les n premiers termes de la suite (Vn).
merci d'avance

Répondre :

GHANAMIVIZ
l'éxpression de Vn en fonction de n puis celle de UnBonjour voici une solution
1) a  :  pour n=0 on a U1= 0.5U0+3= 0.5(8)+3  donc : U1 =7
            pour n=1 : U2 =0.5 U1+3 =0.5(7)+3 =13/2
même méthode on trouve : U3 =25/4   et U4= 49/8
b) (Un) n'est pas une suite arithmétique car = (13/2)-7 n'est pas égale a (25/4)-(13/2)  ...(définition de la suite 
arithmétique )
(Un) n'est pas une suite géométrique car (13/2)/(7)  n'est pas égale a (7/8) (définition de la suite
géométrique )
2) a : V0=U0 -6 = 8-6 =2
         V1 =U1-6= 7-6 = 1
         V2 = U2-6 = (13/2)-6=1/2
        V3 =  U3-6(25/4)-6 = 1/4 
        V 4 = (49/8)-6 = 1/8
on remarque que : V1=1/2 V0
                               V 2 = 1/2 V1
                               V3= 1/2 V2
                                V4=1/2V3
géneralement pour tout n de N : Vn+1 = 1/2Vn 
la conjoncture est : " la suite (Vn) est une suite géométrique de raison q= 1/2 et de premier terme V0 = 2
b) nous allons démontrer  : pour tout n de N : Vn+1=(1/2)Vn
en effet : Vn+1 = Un+1 -6 car Vn= Un -6
               Vn+1 = ((1/2)Un+3)-6) car Un+1 = (1/2) Un+3
               Vn+1 = (1/2)Un-3
               Vn+1 = (1/2) (Un-6)   car : -3 = (1/2)(-6)
              Vn+1 = (1/2) Vn car  puis celle de Un
c) le terme géneral est :Vn =V0 qn ( q puissance n )
l'éxpression de Vn en fonction de n  est Vn= 2 (1/2)^n
puis celle de Un a partir de la relation Vn= Un -6
veut dire Un = Vn +6 donc  Un =  2 (1/2)^n +6
cordialement
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