Bonjour Chelnambre90
Figure en pièce jointe.
Quelle doit être la largeur du bandeau pour qu'il en soit ainsi ?
On note x la largeur du bandeau en mètres.
Puisque x ne peut pas être supérieur à la largeur de la cheminée, nous avons : [tex]0\le x\le 1[/tex]
Les dimensions du rectangle EFGH sont 2-2x et 1-x.
L'aire du rectangle EFGH = (2-2x)(1-x).
L'aire du rectangle EFGH doit être supérieure à 0,5 m².
Donc nous devons résoudre l'inéquation : [tex](2-2x)(1-x)\ge0,5[/tex]
[tex]2-2x-2x+2x^2\ge0,5\\2x^2-4x+2\ge0,5\\2x^2-4x+1,5\ge0 2x^2-3x-x+1,5\ge0\\2x(x-1,5)-(x-1,5)\ge0\\2x(x-1,5)-1(x-1,5)\ge0\\(x-1,5)(2x-1)\ge0[/tex]
Tableau de signes :
racines : x - 1,5 = 0 ==> x = 1,5
2x - 1 = 0 ==> x = 1/2 = 0,5
[tex]\begin{array}{|c|cccccccc|} x&0&&-0,5&&1&&1,5& \\ x-1,5&&-&-&-&-&-&0&+\\ 2x-1&&-&0&+&+&+&+&+\\ (x-1,5)(2x-1)&&+&0&-&-&-&0&+\\\end{array}[/tex]
Or [tex]0\le x\le 1[/tex]
Donc, dans l'intervalle [0 ; 1], l'inéquation [tex](x-1,5)(2x-1)\ge0 [/tex] est vérifiée pour x € [0 ; 0,5].
Par conséquent,
toutes les largeurs possibles du bandeau pour que le Père Noel puisse passer par la cheminée sont comprises entre 0 m et 0,5 m.
La largeur maximale du bandeau sera alors égale à 0,5 m.
Quelles sont alors les dimensions du rectangle EFGH ?
si x = 0,5, alors
2 - 2x = 2 - 2*0,5 = 2 - 1 = 1
1 - 0,5 = 0,5.
Par conséquent,
les dimensions du rectangle seront alors 0,5 m pour la largeur et 1 m pour la longueur.
