1a. Si E est sur le point A, alors x vaut 0. Si E est sur le point B, alors x vaut 8. E se déplace entre A et B donc x varie entre 0 et 8.
1b. Exprimer l'aire de EFGH en fonction de x:
[tex]Aire de EFGH = EF \times EH[/tex]
Calcul de EF: Dans le triangle EBF rectangle en B on utilise le théorème de Pythagore: EF²=EB²+BF².
On sait que BF=x et EB=8-x donc [tex] EF ^{2} =x^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}+8^{2}-2 \times 8 \times x + x^{2}[/tex]
[tex]EF^{2} = 2x^{2}-16x+64[/tex]
Pour avoir EF il faut juste prendre la racine.
Calcul de EH: Dans le triangle AEH rectangle en A, EH²=AE²+AH²
On sait que AE=x et AH=5-x donc [tex]EH^{2} = x^{2} +(5-x) ^{2} = x^{2} +25-10x+ x^{2} =[/tex]
Idem pour avoir EH on prend la racine.
Calcul de l'aire EF*EH:
[tex] EF \times EH= \sqrt{2x^{2}-16x+64} \times \sqrt{2x^{2} -10x+25}[/tex]
[tex]EF \times EH = \sqrt{(2x^{2}-16x+64) \times (2x^{2} -10x+25)} [/tex]
[tex] = \sqrt{ 4 x^{4} -20 x^{3} +25 x^{2} -32 x^{3} +160 x^{2} -400x+128 x^{2} -640x+1600}[/tex]
[tex]EF \times EH= \sqrt{4x^{4}-52x^{3}+313 x^{2} -1040x+1600} [/tex]
Très franchement, calculer la racine de ce truc, à moins que tu arrives à factoriser, c'est chiant. Or, on te donne la réponse. Tu as donc juste à vérifier que f(x)²=tout le truc sous la racine.
La question 2 se fait à la calculette, je te laisse gérer.
3.a développe le deuxième terme (terme de droite) et simplifie jusqu'à retrouver le premier (terme de gauche)
b. Tu remarque que le terme de gauche à la question précédente n'est autre que f(x)-30. On a donc montré que [tex]f(x)-30=2(x-\frac{13}{4}) ^{2} -\frac{89}{8}[/tex] On te demande de vérifier quand est-ce que f(x)=30, donc quand est-ce que f(x)-30=0.
Il faut donc résoudre l'équation [tex]2(x-\frac{13}{4}) ^{2} -\frac{89}{8}=0[/tex]
4a. ressemble beaucoup à l'égalité du 3.a, non? Il suffit d'ajouter 30 des deux côtés;
4b. revient à montrer que [tex]2(x-\frac{13}{4}) ^{2} \ \textgreater \ 0[/tex] Or un truc au carré est toujours positif. 2 est positif. Quand on multiplie deux positifs le résultat est positif. Donc ça marche.
Cette question n'est pas aussi anodine qu'elle n'y paraît: elle te permet de montrer que ta fonction f est toujours supérieur à 151/8, donc l'aire minimum de EFGH est 151/8.
4c. Résoudre l'équation [tex]2(x-\frac{13}{4}) ^{2} =0[/tex] (facile). Te donne le x tel que f(x)=151/8, donc la valeur de x pour laquelle l'aire f(x) de EFGH est minimale. Permet de répondre à la dernière question.
