Bonjour Emmadu38
Exercice 57.
f(x) = ln(x+1)
F(x) = (x+1) ln(x+1) - x
1. F est une primitive de f si [tex]F'=f[/tex]
[tex] F'(x)=[(x+1) \ln(x+1) -x]'\\\\ F'(x)=[(x+1) \ln(x+1)]' -x'\\\\ F'(x)=(x+1)'\times \ln(x+1)+(x+1)\times[\ln(x+1)]' -x'\\\\ F'(x)=1\times \ln(x+1)+(x+1)\times\dfrac{1}{x+1} -1\\\\ F'(x)=\ln(x+1)+\dfrac{x+1}{x+1} -1\\\\ F'(x)=\ln(x+1)+1 -1\\\\ F'(x)=\ln(x+1)\\\\\boxed{F'(x)=f(x)}[/tex]
2. Primitive de f qui s'annule en 0.
Toute primitive de f sur ]-1;+oo[ est de la forme G : x → F(x) + C où F(x) est une primitive de f et C est une constante.
Donc G(x) = F(x) + C
G(x) = (x+1) ln(x+1) - x + C
Or la primitive cherchée s'annule en 0.
Donc G(0) = 0
(0 + 1) ln(0 + 1) - 0 + C = 0
1 * ln(1) + C = 0
0 + C = 0
C = 0.
Par conséquent,
la primitive de f s'annulant en 0 est définie par G(x) = (x+1) ln(x+1) - x.
Exercice 59.
[tex]f(x) = 3\cos^3x\\\\F(x)=3\sin x- \sin^3x[/tex]
1. F est une primitive de f si [tex]F'=f[/tex]
[tex]F'(x)=(3\sin x- \sin^3x)'\\\\F'(x)=(3\sin x)'- (\sin^3x)'\\\\F'(x)=3\cos x- 3\cos x\times\sin^2x\\\\F'(x)=3\cos x(1- \sin^2x)\\\\F'(x)=3\cos x\times\cos^2x\\\\F'(x)=3\cos^3x\\\\\boxed{F'(x)=f(x)}[/tex]
2) Primitive de f valant 0 en pi/2.
Toute primitive de f sur R est de la forme G : x → F(x) + C où F(x) est une primitive de f et C est une constante.
Donc G(x) = F(x) + C
[tex]G(x)=3\sin x- \sin^3x+C[/tex]
Or la primitive cherchée vaut 0 en pi/2.
[tex]G(\dfrac{\pi}{2})=0\\\\3\sin (\dfrac{\pi}{2})- \sin^3(\dfrac{\pi}{2})+C=0\\\\3\times1-1^3+C=0\\\\3-1+C=0\\\\2+C=0\\\\C=-2[/tex]
Par conséquent, la primitive de f valant 0 en pi/2 est définie par [tex]\boxed{G(x)=3\sin x- \sin^3x-2}[/tex]
