1) Exprimer y en fonction de x.
Rappel formule volume parallélépipède à base carrée : L² x Hauteur
Donc :
8 = x² * y
y = 8/x²
2) Exprimer l'aire totale A(x) des parois extérieures du conteneur en fonction de x.
L"aire de deux faces est égale à : x² cm², soit pour 4 faces :
A(x) = 2x² + 4xy
A (x) = 2x² + 4x (8/x²)
A (x) = 2x² + 32/x
L"aire totale A (x) des parois extérieures du conteneur est : A (x) = 2x² + 32/x
3)
a) Démontrer que, pour tout x: x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4)
(x - 2) (x² + 2x + 4)
= x³ + 2x² + 4x - 2x² - 4x - 8
= x³ + 2x² - 2x² + 4x - 4x - 8
= x³ - 8
b) En déduire le signe de x³ - 8
(x² + 2x + 4)
= (x + 1)² + 3 > 0
x³ - 8 ≥ 0 pour x ≥ 2
x³ - 8 ≤ 0 pour x ≤ 2
4)
a) Etudier le sens de variation de la fonction A sur ]0 ; + infini[
A(x) est dérivable sur ]0 ; + infini[
Donc :
A'(x) = 4x - 32/x²
Or, A'(x) est du signe de (x²/4) * A' (x) = x³ - 8 car (x²/4) ≥ 0
A est décroissante sur ]0 ; 2]
A est croissante sur [2 ; + infini[
b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cher
en produit anti-rouille
A (2) = 8 + 16
A (2) = 24 cm²
Le produit sera moins cher pour une aire de A minimale de 24 cm²
