Répondre :
Bonjour,
Tu sais ou tu démontres que a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)
On applique avec a=cos²x et b=sin²x
cos⁶x+sin⁶x=(sin²x+cos²x)(sin⁴x+cos⁴x-sin²xcos²x)
Or sin²x+cos²x=1
Par ailleurs, sin⁴x+cos⁴x=(sin²x+cos²x)²-2sin²xcos²x=1-2sin²xcos²x
Donc
cos⁶x+sin⁶x=1-2sin²xcos²x-sin²xcos²x=1-3sin²xcos²x
Or sin2x=2sinxcosx donc sin²xcos²x=(sin2x/2)²=sin²2x/4
D'ou cos⁶x+sin⁶x=1-3sin²2x/4
L'inéquation se ramène à :
1-3sin²2x/4>1/4
⇔3sin²2x/4<1-1/4
⇔sin²2x<1/4
⇔-1/2<sin2x<1/2
⇔2x∈]-π;-5π/6[U]-π/6;π/6[U]5π/6;π[
⇔x∈]-π/2;-5π/12[U]-π/12;π/12[U]5π/12;π/2[
En résolvant sur [-π;π] sinon tu adaptes la solution
Tu sais ou tu démontres que a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)
On applique avec a=cos²x et b=sin²x
cos⁶x+sin⁶x=(sin²x+cos²x)(sin⁴x+cos⁴x-sin²xcos²x)
Or sin²x+cos²x=1
Par ailleurs, sin⁴x+cos⁴x=(sin²x+cos²x)²-2sin²xcos²x=1-2sin²xcos²x
Donc
cos⁶x+sin⁶x=1-2sin²xcos²x-sin²xcos²x=1-3sin²xcos²x
Or sin2x=2sinxcosx donc sin²xcos²x=(sin2x/2)²=sin²2x/4
D'ou cos⁶x+sin⁶x=1-3sin²2x/4
L'inéquation se ramène à :
1-3sin²2x/4>1/4
⇔3sin²2x/4<1-1/4
⇔sin²2x<1/4
⇔-1/2<sin2x<1/2
⇔2x∈]-π;-5π/6[U]-π/6;π/6[U]5π/6;π[
⇔x∈]-π/2;-5π/12[U]-π/12;π/12[U]5π/12;π/2[
En résolvant sur [-π;π] sinon tu adaptes la solution
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