Bonjour
CHRISTIANE10
1) U(n) est la population au bout de n années.
U(n+1) est la population
au bout de (n+1) années.
Chaque année 20% des animaux disparaissent ==> le coefficient multiplication est 1-0,20 = 0,80.
D'où, sans tenir compte des animaux supplémentaires, [tex]u_{n+1}=0,8\times u_n[/tex].
Puisqu'on introduit 120 animaux supplémentaires,
[tex]u_{n+1}=0,8\times u_n+120[/tex].
2) Tableau
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} n&0&10&20&30 \\u_n&1000&643&604,6&600,5 \\ \end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} n&40&50&60&70&80 \\u_n&600,05&600,0057&600,0006&600,00007&600,000007 \\ \end{array}[/tex]
3) La suite (Un) paraît décroissante et tendre vers 600 lorsque n augmente.
[tex]4)a)\ v_n=u_n-600\\\\v_{n+1}=u_{n+1}-600\\\\v_{n+1}=0,8u_{n}+120-600\\\\v_{n+1}=0,8u_{n}-480\\\\v_{n+1}=0,8u_{n}-0,8\times600\\\\v_{n+1}=0,8(u_{n}-600)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,8v_{n}}[/tex]
D'où (Vn) est une suite géométrique de raion 0,8 et de premier terme V0 = 400 car [tex]v_0=u_0-600=1000-600\Longrightarrow v_0=400[/tex]
Donc [tex]v_n=v_0\times0,8^n\Longrightarrow \boxed{v_n=400\times0,8^n}[/tex]
[tex]b) v_n=u_n-600\Longrightarrow u_n=v_n+600\\\\\Longrightarrow \boxed{u_n=400\times0,8^n+600}[/tex]
[tex]c) v_{n+1}-v_n=400\times0,8^{n+1}-400\times0,8^n\\\\v_{n+1}-v_n=400\times0,8^{n}\times0,8-400\times0,8^n\\\\v_{n+1}-v_n=400\times0,8^{n}\times(0,8-1)\\\\v_{n+1}-v_n=400\times0,8^{n}\times(-0,2)\\\\v_{n+1}-v_n=-80\times0,8^{n}\\\\v_{n+1}-v_n\ \textless \ 0\ \ \ [car-80\ \textless \ 0\ et\ 0,8^{n}\ \textgreater \ 0]\\\\\boxed{v_{n+1}\ \textless \ v_n}[/tex]
Par conséquent,
la suite (Vn) est décroissante.[tex]d)\ u_{n+1}-u_n=(v_{n+1}+600)-(v_n+600)\\\\u_{n+1}-u_n=v_{n+1}+600-v_n-600\\\\u_{n+1}-u_n=v_{n+1}-v_n\ \textless \ 0\\\\\Longrightarrow u_{n+1}-u_n\ \textless \ 0\\\\\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}\ \textless \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est décroissante.
5) Algorithme.
1 VARIABLES
2 n EST_DU_TYPE NOMBRE
3 u EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 n PREND_LA_VALEUR 0
6 u PREND_LA_VALEUR 1000
7 TANT_QUE (u>=610) FAIRE
8 DEBUT_TANT_QUE
9 n PREND_LA_VALEUR n+1
10 u PREND_LA_VALEUR 400*pow(0.8,n)+600
11 FIN_TANT_QUE
12 AFFICHER n
13 FIN_ALGORITHME
***Algorithme lancé***
17
***Algorithme terminé***
Par conséquent,
Au bout de 17 ans, la population animale comptera moins de 610 membres.
