[tex]N=abcd[/tex] où a, b, c et d sont des chiffres compris entre 0 et 9.
Comme [tex]5300 \leq N \leq 5400[/tex], on sait que nécessairement, on a [tex]a=5[/tex].
De même, on a que [tex]b=3[/tex] ou [tex]b=4[/tex].
Ensuite, le chiffre des unités est égal à celui des dizaines donc [tex]c=d[/tex].
La moyenne des chiffres vaut 4 donc [tex]\frac{a+b+c+d}{4}=4[/tex]
[tex]a+b+c+d=16[/tex]
[tex]5+b+2c=16[/tex]
[tex]b+2c=11[/tex]
Ici, on procède par disjonction des cas. Si [tex]b=4[/tex], on a :
[tex]4+2c=11[/tex]
[tex]2c=7[/tex]
ce qui est impossible car c doit être un entier naturel et on ne peut pas diviser 7 et obtenir pour quotient un entier naturel.
Donc nécessairement, [tex]b=3[/tex] et ainsi :
[tex]3+2c=11[/tex]
[tex]2c=8[/tex]
[tex]c=4=d[/tex]
Si l'on reprend toutes les infos dont on dispose, on a que [tex]N=5344[/tex].
