Bonjour Elisabeth28
[tex]1)\ f(x)=\dfrac{1}{4}xe^{-\dfrac{x}{2}}[/tex]
[tex]a)\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{4}xe^{-\dfrac{x}{2}}\\\\=\lim\limits_{x\to+\infty}(-\dfrac{1}{2})\times(-\dfrac{1}{2})\times xe^{-\dfrac{x}{2}}\\\\=\lim\limits_{x\to+\infty}(-\dfrac{1}{2})\times(-\dfrac{x}{2})\times e^{-\dfrac{x}{2}}\\\\=(-\dfrac{1}{2})\times\lim\limits_{x\to+\infty}(-\dfrac{x}{2})\times e^{-\dfrac{x}{2}}[/tex]
Posons [tex]X=-\dfrac{x}{2}[/tex]
Alors
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=(-\dfrac{1}{2})\times\lim\limits_{X\to-\infty}X e^{X}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=(-\dfrac{1}{2})\times0\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}[/tex]
Par conséquent, la courbe C admet la droite d'équation y = 0 (l’axe des abscisses) pour asymptote en +oo.
b) Variations de f.
[tex]f'(x)=(\dfrac{1}{4}xe^{-\dfrac{x}{2}})'\\\\f'(x)=(\dfrac{1}{4}x)'\times e^{-\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1}{4}x\times (e^{-\dfrac{x}{2}})'\\\\f'(x)=\dfrac{1}{4}\times e^{-\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1}{4}x\times (-\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}})\\\\f'(x)=\dfrac{1}{4}e^{-\dfrac{x}{2}}-\dfrac{1}{8}xe^{-\dfrac{x}{2}}\\\\f'(x)=\dfrac{2}{8}e^{-\dfrac{x}{2}}-\dfrac{1}{8}xe^{-\dfrac{x}{2}}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{8}e^{-\dfrac{x}{2}}(2-x)}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&2&&+\infty \\ \frac{1}{8}e^{-\frac{x}{2}}&&+&+&+&\\2-x&&+&0&-&\\f'(x)&&+&0&-&\\f(x)&0&\nearrow&\dfrac{1}{2e}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
[tex]2)a)\ F(x)=\int\limits_0^xf(t)dt\Longrightarrow \boxed{F'(x)=f(x)}[/tex]
Or le tableau de variation de la fonction f montre que f(x) ≥ 0 si x ∈ [0;+oo[
Donc, F '(x) ≥ 0 si x ∈ [0;+oo[
Par conséquent, la fonction F est croissante sur l'intervalle [0;+oo[.
[tex]b)\ G'(x)=[1-e^{-\dfrac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}]'\\\\G'(x)=0+\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}-[\dfrac{x}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}]'\\\\G'(x)=\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}-[(\dfrac{x}{2})'e^{-\dfrac{x}{2}}+\dfrac{x}{2}(e^{-\dfrac{x}{2}})']\\\\G'(x)=\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}-[\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}+\dfrac{x}{2}\times(-\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}})]\\\\G'(x)=\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}-\dfrac{1}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}+\dfrac{x}{4}e^{-\dfrac{x}{2}}\\\\\boxed{G'(x)=\dfrac{x}{4}e^{-\dfrac{x}{2}}}[/tex]
On en déduit que G est une primitive de f.
De plus, G(0) = 0
Or F est également une primitive de f et F(0) = 0
Par conséquent, puisque F et G sont deux primitives de f s'annulant en 0, on en déduit que F = G.
[tex]c)\ \lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}[1-e^{-\dfrac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}e^{-\dfrac{x}{2}}]\\\\Posons\ X=-\dfrac{x}{2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=\lim\limits_{X\to-\infty}[1-e^{X}+Xe^X}]\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1-\lim\limits_{X\to-\infty}e^{X}+\lim\limits_{X\to-\infty}Xe^X}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1-0+0\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1}[/tex]
d) Nous savons que la fonction F est continue et strictement
croissante sur [0;+oo[, que F(0) = 0, que [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1[/tex] et que 0,5 appartient à l'intervalle [0;1[.
Par conséquent, selon le corollaire du théorème des
valeurs intermédiaires, il existe un unique réel
α dans l'intervalle [0;+oo[ tel que F(α) = 0,5.
Par la calculatrice, nous obtenons :
F(3,35) ≈ 0,4989506199 < 0,5
F(3,36) ≈ 0,5005177442 > 0,5
D'où 3,35 < α < 3,36.
3) Algorithme.
1 VARIABLES
2 n EST_DU_TYPE NOMBRE
3 A EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 n PREND_LA_VALEUR 0
6 A PREND_LA_VALEUR 0
7 TANT_QUE (A<0.99) FAIRE
8 DEBUT_TANT_QUE
9 n PREND_LA_VALEUR n+1
10 A PREND_LA_VALEUR 1-exp(-n/2)-(n/2)*exp(-n/2)
11 FIN_TANT_QUE
12 AFFICHER n
13 FIN_ALGORITHME
***Algorithme lancé***
14
***Algorithme terminé***
Le plus petit entier naturel n tel que An ≥ 0,99 est 14.
