f(x) = (2x-5) / (x²-5x+6)
Domaine de f = |R \ {2;3}
x² - 5x + 6 = 0
Δ = 5² - 4.1.6 = 25-24 = 1
x = (5±√
Δ) / 2.1 x₁ = 5+1 / 2 = 3 x 2 3
x₂ = 5-1 / 2 = 2 x²-5x+6 + 0 - 0 +
Parité :
f(-x) = ( -2x-5) / (x²+5x+6) ≠ f(x) et ≠-f(x)
Donc f n'est ni paire, ni impaire
Racines :
f(x) = 0 ssi 2x - 5 = 0
x = 5/2
Donc, f(x) admet une racine en 5/2
Signe de f(x) :
x 2 5/2 3
2x-5 - - - 0 + + +
x²-5x+6 + 0 - - - 0 +
f(x) - X + 0 - X +
Asymptotes :
lim f(x) = -1 / 0⁺ = - ∞
x→2⁻
lim f(x) = -1 / 0⁻ = + ∞
x→2⁺
lim f(x) = 1 / 0⁺ = + ∞
x→3⁻
lim f(x) = 1 / 0⁻ = - ∞ Nous avons donc les asymptotes suivantes :
x→3⁺ AV ≡ x = 2
AV ≡ x = 3
lim f(x) = 0 AH ≡ y = 0
x→±∞
Dérivée :
f'(x) = [ (2x-5)'.(x²-5x+6) - (2x-5).(x²-5x+6)' ] /
(x²-5x+6)²
= [ 2(x²-5x+6) - (2x-5)(2x-5) ] / (x-2)²(x-3)²
= ( 2x²-10x+12-4x²+20x-25) /
(x-2)²(x-3)²
= ( -2x²+10x-13 ) /
(x-2)²(x-3)²
Etude du signe de f' : Le signe de f' est celui de son numérateur car son dénominateur est toujours positif
-2x²+10x-13=0
Δ' = 25-(-2)(-13) = 25-26 = -1
Donc pas de solution dans |R
x 2 3
f'(x) - ∅ - ∅ -
Tableau de variation et graphe en pièces jointes
