Bonjour voici une solution :
on sait que l'équation de la forme y"+a²y=0
admet comme solution génerale :
y = Acos(ax) +bsin(ax)
1) on a : y=1/2cos(2x)
y' =-1/2(2)sin(2x) et y"=-1/2(2)(2)cos(2x)
veut dire : y"=-2cos(2x)
remplacons dans (E) :
1/4(-2cos(2x))+(1/2cos(2x)) =
-1/2cos(2x)+1/2cos(2x) =0
donc : y=1/2cos(2x) est bien solution de(E)
2) la solution génerale de (E) est :
y=Acos(2x)+Bsin(2x)
car l'équation 1/4y"+y=0 peut s'écrire sous la forme : y"+2²y=0 de meme type que
y"+a²y=0 avec a=2
3) on a : f(x) =Acos(2x)+Bsin(2x)
f(0)=0 et f'(0)=1
mais f'(x) =-2Asin(2x)+2B cos(2x)
f(0)=0 veut dire : Acos(0)+Bsin(0)=0
donc :A= car cos(0)=1 et si(0)=0
f'0)=1 veut dire : -2Asin(0)+2Bcos(0)=1
2B=1 donc : B=1/2
conclusion : f(x) =1/2cos(2x)
