Bonjour,
il faut ici utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
On vérifie d'abord les hypothèses
A, R et B d'une part et A, S et C d'autre part sont alignés dans cet ordre.
On teste ensuite les rapports des longueurs:
[tex]\frac{AS}{AC} = \frac{\sqrt{48}}{20} = \frac{\sqrt{3\times 16}}{20} = \frac{4\sqrt 3}{20} = \frac{\sqrt 3}{5}\\ \\
\frac{AR}{AB} = \frac{\sqrt{27}}{15} = \frac{\sqrt{3\times 9}}{15} = \frac{3\sqrt 3}{15} = \frac{\sqrt 3}{5}\\ \\[/tex]
Les deux rapports sont égaux. D'après la réciproque de Thalès, les droites (RS) et (BC) sont parallèles.
Et on peut en plus rajouter
[tex]\frac{RS}{BC} = \frac{\sqrt 3}{5}\\ \\
RS = \frac{\sqrt 3}{5} \times BC\\ \\
RS = \frac{\sqrt 3}{5} \times 5\sqrt 2\\ \\
RS = \sqrt 3 \times \sqrt 2 = \sqrt{3\times 2} = \sqrt{6}[/tex]
