Bonjour tout le monde !
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n, par
Un = 3n-1/n+1
Déterminer le sens de variation de la suite (Un).Conjecturer une limite éventuelle de la suite (Un).a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Un = 3 - 4/n+1
b) À partir de quel
entier n a-t-on 2,999 < Un < 3?J'ai répondu à la première question :
1) Un+1 - Un = 3 (n+1) - 1/(n+1)+1 - 3n-1/n+1
= 3n + 3 -1/n+2 - (3n-1)(n+2)/(n+1)(n+2)
= (3n+2)(n+1)/(n+2)(n+1) - (3n-1)(n+2)/(n+1)(n+2)
= 3n^2 + 3n +2n +2 -(3n^2 +6n -n -2)/(n+2)(n+1)
= 3n^2 +3n +2n +2 -3n^2 -6n +n +2/(n+2)(n+1)
= 4/(n+2)(n+1)
Donc: * 4>0 *n+2>0 car n apparatient à l'ensemble des entiers naturels
*n+1>0 car n appartient à l'ensemble des entiers naturels
Donc Un est croissante, (... )
2) Je suis bloquée ...
J'ai d'abord essayé de faire 3n-1/n+1 < 1000 (valeur prise au hasard ) mais
je n'ai pas réussi à isoler les n.
Après j'ai essayé de trouver la limite en utilisant les dérivés avec f (a)
puis f (a+h) puis f (a+h)-f (a)/h = 3/-2
Je suis donc bloquée au 2 et 3
merci d'avance