Bonjour Maevad07
Exercice 1
1) Reproduire ce schéma à l'échelle 1/1000.
1 cm sur la feuille = 1000 cm en réalité
1 cm sur la feuille = 10 m en réalité
Donc 10 cm sur la feuille = 100 m en réalité
On peut donc représenter le côté [NM].
Le reste de la construction peut se faire puisque les mesures des angles su la feuille restent identiques aux mesures réelles.
2) Calculer l'angle NMH et en déduire une valeur approchée de HM.
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
D'où, dans le triangle NHM, mes(NMH) = 180° - (90° + 20°)
mes(NMH) = 180° - 110°
mes(NMH) = 70°
Dans le triangle NHM rectangle en H,
[tex]\cos(\widehat{NMH})=\dfrac{HM}{NM}\\\\\cos(70^o)=\dfrac{HM}{100}\\\\HM=100\times\cos(70^o)\\\\\boxed{HM\approx34,2}[/tex]
3) Calculer l'angle HMA et en déduire une valeur approchée de MA.
Les points N, M et B sont alignés.
D'où l'angle NMB est un angle plat ==> mes(NMB) = 180°.
Donc mes(HMA) = 180° - (70° + 50°)
mes(HMA) = 180° - 120°
mes(HMA) = 60°
Dans le triangle MHA rectangle en H,
[tex]\cos(\widehat{HMA})=\dfrac{HM}{MA}\\\\\cos(60^o)=\dfrac{34,2}{MA}\\\\MA=\dfrac{34,2}{\cos(60^o)}\\\\\boxed{MA\approx68,4}[/tex]
4) Calculer l'angle MAB et en déduire une valeur approchée de AB.
Dans le triangle MAB, mes(MAB) = 180° - (90° + 50°)
mes(MAB) = 180° - 140°
mes(MAB) = 40°
Dans le triangle MAB rectangle en B,
[tex]\cos(\widehat{MAB})=\dfrac{AB}{AM}\\\\\cos(40^o)=\dfrac{AB}{68,4}\\\\AB=68,4\times\cos(40^o)\\\\\boxed{AB\approx52,4}[/tex]
Par conséquent,
la hauteur de la falaise est environ de 52,4 m.
Exercice 2
1) Montrer que PM = 3/4x
Par Thalès dans le triangle ABC,
[tex]\dfrac{PM}{AC} = \dfrac{BP}{BA}\\\\\dfrac{PM}{3} = \dfrac{x}{4}\\\\PM = 3\times\dfrac{x}{4}\\\\\boxed{PM = \dfrac{3x}{4}}[/tex]
2 ) Montrer que le périmètre P du rectangle APMQ est P = 8 - x/2
On sait que AP = AB - BP = 4 - x
Périmètre du rectangle APMQ = PM + AQ + AP + QM
[tex]= 2\times PM + 2\times AP\\\\= 2\times\dfrac{3x}{4} + 2\times(4-x)\\\\= \dfrac{6x}{4}+8-2x\\\\=8+\dfrac{3x}{2}-\dfrac{4x}{2}\\\\=8-\dfrac{x}{2}[/tex]
Par conséquent,
le périmètre du rectangle APMQ est égal à 8 - x/2.
3) a) Expliquer pourquoi le nombre x doit être compris entre 0 et 4.
Lorsque le point P est en B, BP = 0 ==> x = 0
Lorsque le point P est en A, BP = AB = 4 ==> x = 4
Lorsque le point P est entre B et A, alors 0 < x < 4.
Par conséquent,
en général, 0 ≤ x ≤ 4.
b) Est-il possible de placer P sur [AB] pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal a 7 cm ?
[tex]8-\dfrac{x}{2}=7\\\\8-7=\dfrac{x}{2}\\\\\dfrac{x}{2}=1\\\\\boxed{x=2}[/tex]
D'où,
il est possible de placer P sur [AB] pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal a 7 cm.
Pour cela, il suffit de placer le point P tel que BP = 2 cm.
Est-il possible de placer P sur [AB] pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal à 4 cm ?
[tex]8-\dfrac{x}{2}=4\\\\8-4=\dfrac{x}{2}\\\\\dfrac{x}{2}=4\\\\\boxed{x=8}[/tex]
D'où,
il n'est pas possible de placer P sur [AB] pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal à 4 cm car x est supérieur à 4 (ce qui est contradictoire avec la réponse 3a)
Est-il possible de placer P sur [AB] pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal à 10 cm ?
[tex]8-\dfrac{x}{2}=10\\\\8-10=\dfrac{x}{2}\\\\\dfrac{x}{2}=-2\\\\\boxed{x=-4}[/tex]
D'où,
il n'est pas possible de placer P sur [AB] pour que le périmètre du rectangle APMQ soit égal à 10 cm car x est inférieur à 0 (ce qui est contradictoire avec la réponse 3a)
