Bonjour Abcd56
(a) Donner, en fonction de a et b, un point A, distinct de O, qui appartient à ∆.
A (ra ; br) avec r ≠ 0
(b) Donner de même, en fonction de a′ et b′, un point B, distincts de O, qui appartient à D
B (sa' ; sb') avec s ≠ 0
(c) Calculer , en fonction de a, b, a′ et b′ les longueurs AB,OA et OB.
[tex]AB=\sqrt{(sa'-ra)^2+(sb'-rb)^2}\\\\OA=\sqrt{(ra-0)^2+(rb-0)^2}=\sqrt{r^2a^2+r^2b^2}\\\\OB=\sqrt{(sa'-0)^2+(sb'-0)^2}=\sqrt{s^2a'^2+s^2b'^2}[/tex]
(d) Montrer que ∆ est perpendiculaire à D si et seulement si aa′+bb′=0.
∆ est perpendiculaire à D si et seulement si le triangle AOB est rectangle en O.
∆ est perpendiculaire à D si et seulement si la relation de Pythagore dans un triangle rectangle est vérifiée.
∆ est perpendiculaire à D si et seulement AB² = OA² + OB²
Or
[tex]AB^2=OA^2+OB^2\\\\\Longleftrightarrow(sa'-ra)^2+(sb'-rb)^2}=(r^2a^2+r^2b^2)+(s^2a'^2+s^2b'^2)\\\\\Longleftrightarrow s^2a'^2-2rsaa'+r^2a^2+s^2b'^2-2rsbb'+r^2b^2\\=r^2a^2+r^2b^2+s^2a'^2+s^2b'^2\\\\\Longleftrightarrow s^2a'^2-2rsaa'+r^2a^2+s^2b'^2-2rsbb'+r^2b^2\\-r^2a^2-r^2b^2-s^2a'^2-s^2b'^2=0[/tex]
[tex]\\\\\Longleftrightarrow -2rsaa'-2rsbb'=0\\\\\Longleftrightarrow -2rs(aa'+bb')=0[/tex]
Divisons les deux membres par 2rs ≠ 0
D'où
[tex]\boxed{aa'+bb'=0}[/tex]
