1) Graphiquement la fonction est :
décroissante sur [-2 ; 0,4]
croissante sur ]0,4 ; 3,1]
décroissante sur ]3,1 ; 4]
2) Résoudre l'équation f'(x) = 0 revient à trouver graphiquement quand est ce que la fonction f(x) passe de croissante à décroissante et donc que la dérivé de cette fonction est égale à 0. On peut également observer que quand la dérivé de la fonction est égale à 0, sa représentation graphique est horizontale, parallèle à l'axe des abscisses car son coefficient directeur est nul pour cette valeur de x.
On peut donc résoudre cette équation f'(x) = 0 pour x = 0,4 et x = 3,1
Le couple de solutions de cette équation est donc S = {0,4 ; 3,1}
3) On sait qu'une fonction dérivée est positive sur l'intervalle ou sa fonction de référence est croissante, et à l'inverse, négative quand sa fonction de référence est décroissante.
On peut donc en conclure que le signe f'(x) est :
négatif sur [-2 ; 0,4] car f(x) est décroissante sur cette intervalle
positif sur ]0,4 ; 3,1] car f(x) est croissante sur cette intervalle
négatif sur ]3,1 ; 4] car f(x) est décroissante sur cette intervalle
4) Donner la dérivée d'un point graphiquement reviens à trouver le coefficient directeur de la tangente, à la courbe en un point précis.
Ici on doit trouver la dérivée de f(x) en x = 1. Il faut donc calculer le coefficient directeur de la tangente T comme on le ferait graphiquement pour déterminer l'équation d'une droite d'une fonction affine ou linéaire.
Dans le cas présent l'équation de la tangente T se présente de la forme
y = ax+b
Pour trouver a, il suffit de calculer le coefficient directeur de la droite. Pour cela il faut prendre 2 points par lesquels la droite passe, prenons les points (1 ; -2) et (2 ; -1). Il est facile de dire que le coefficient directeur de la droite est égale à 1 car pour "passer" de l'image de -2 à -1 il suffit d'ajouter 1. (explication en pièce jointe)
Le nombre dérivée représentant le coefficient directeur de la droite en ce point, on peut dire que f'(1) = 1
5) Comme montrer en pièce jointe, le calcul à faire pour trouver le coefficient directeur d'une droite passant par 2 points il faut faire :
(yB-yA)/(xB-xA) (avec xB > xA)
Dans le cas présent nous avons ceci :
(-2-1)/(0-(-5/4)) = -3/(5/4)
⇔ -3*(4/5) (car diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse)
⇔ -12/5
On peut donc en déduire que f'(0) = -12/5
