f(x) = (2x²-54x-38)/(x+9)²
Une fonction de forme f(x) = u/v a comme dérivée f'(x) = (u'v-uv')/v²
f'(x) = (((4x-54)(x+9)²)-((2x²-54x-38)(2x+18)))/(x+9)^4
f'(x) = ((4x²+36x-54x-486)²)-(4x³+36x²-108x²-972x-76x-684))/(x+9)^4
f'(x) = (4x³+72x²+324x-54x²-972x-4374-4x³-36x²+108x+972x+76x+684)/(x+9)^4
f'(x) = (90x²+400x-3690)/(x+9)^4
On sait que la puissance 4 d'un nombre est toujours positif donc le signe de la fonction dépendra du signe de 90x²+400x-3690
90x²+400x-3690 = 0
9x²+40x-369 = 0
Δ = b²-4ac
Δ = 40²-4*9*(-369)
Δ = 14884
x1 = (-b+√Δ)/2a
x1 = (-40+√14884)/2*9
x1 = (-40+122)/18
x1 = 82/18
x1 ≈ 4,56
x2 = (-b-√Δ)/2a
x2 = (-40-√14884)/2*9
x2 = (-40-122)/18
x2 = -162/18
x2 = -9
On sait également que dans un polynôme du second degré de la forme f(x) = ax²+bx+c le sens de la courbe dépend du signe du coefficient a. Si a>0 alors la fonction est décroissante puis croissante et inversement.
Comme 90 > 0, la fonction est décroissante puis croissante.
Les racines que nous avons trouver précédemment sont donc le couple de solutions S = {-9 ; 4,56} représente l'intervalle dans laquelle la fonction est négative.
f'(x) est donc négative sur ]-9 ; 4,56[ et ainsi positive sur ]-∞ ;9] et
[4,56 ; +∞[
Si une fonction dérivée est négative, alors la fonction de référence est décroissante, à l'inverse si la fonction dérivée est positive, la fonction est croissante.
On peut donc en déduire que :
f(x) est croissante sur ]-∞ ;9]
est décroissante sur ]-9 ; 4,56[
est croissante sur [4,56 ; +∞[
