1) f(x) = ax²+bx+c
f'(x) = 2ax+b
On sait que f(1) = 0
a1²+b1+c = 0
a+b+c = 0
f'(1) = 1
2*1*a+b = 1
2a+b = 1
On sait que le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. En x = 0, on a une tangente d'équation y = -5x+2.
f'(0) = -5
2*0*a+b = -5
b = -5
On a démontré précédemment que 2a+b = 1
Je remplace b par la valeur trouvée :
2a+b = 1
2a-5 = 1
2a = 6
a = 3
On a également démontré que a+b+c = 0
Je remplace a et b par les valeurs trouvées :
a+b+c = 0
3-5+c = 0
-2+c = 0
c = 2
b) L'expression de f(x) est donc :
f(x) = 3x²-5x+2
c) f(x) = 3x²-5x+2
Δ = b²-4ac
Δ = (-5)²-4*3*2
Δ = 25-24
x1 = (-b+√Δ)/2a
x1 = (5+√1)/(2*3)
x1 = 6/6
x1 = 1
x2 = (-b+√Δ)/2a
x2 = (5-√1)/(2*3)
x2 = 4/6
x2 = 2/3
Les racines de la fonction sont donc [2/3 ; 1]
De plus, le coefficient a de la fonction est positif ce qui signifie que la fonction est décroissante puis croissante.
Cela nous donne le tableau de signes suivant :
Valeurs -∞ 2/3 1 +∞
3x²-5x+2 + 0 - 0 +
4) Avec a = 1,5 on a donc :
f(x) = 3x²-5x+2
f(1,5) = 3(1,5)²-5*1,5+2
f(1,5) = 3*2,25-7,5+2
f(1,5) = 1,25
f(x) = 3x²-5x+2
f'(x) = 6x-5
f'(1,5) = 6*1,5-5
f'(1,5) = 4
Pour donner l'équation d'une valeur j'utilise cette formule :
y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = f'(1,5)(x-1,5)+f(a)
y = 4(x-1,5)+1,25
y = 4x-6+1,25
y = 4x-4,75
L'équation de la tangente est donc y = 4x-4,75
5) Je te laisse tracer cette courbe
