Tu as déjà faux au 1, attention aux règles d'addition sur les fractions, tu vas un peu vite.
F1=2 ok.
F2= 1+ 1/2 ok, ça donne F2=3/2 en fraction irréductible et 1.5 en décimal.
[tex]F3=1+1/F2= 1+\frac{1}{1+1/2}=1+\frac{1}{3/2}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}[/tex]
Tu as fait le calcul comme si 1/(1+1/2)=1/1+1/2, ce qui est totalement faux. La division n'est pas distributive (tu peux pas distribuer comme avec une multiplication)
Bref, ça fait F3=5/3=1.667
F4=1+1/F3[tex]=1+\frac{1}{5/3}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}=1.6[/tex]
Pour aire ça tu dois savoir que diviser par une fraction c'est multiplierpar son inverse, donc diviser par 5/3 c'est comme multiplier par 3/5. Donc 1/(5/3)=1*(3/5)=3/5
Additionner le 1 restant ne dois pas poser de problème: 1 c'est égal à 5/5 (mise au même dénominateur) et 5+3=8 donc ça fait 8/5.
De la même manière, [tex]F5=1+1/F4=1+\frac{1}{8/5}=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}[/tex]
Si tu dois remarquer quelque chose, c'est que tes fractions reprennent les nombres précédents.
F1=2
F2=3/2
F3=5/3 or 5=3+2 et le 3 était ton numérateur précédent.
F4=8/5 or 8=5+3 et le 5 était ton numérateur précédent
F5=13/8 or 13=8+5 et....
Et tous ces nombres tendent vers 1.6.
Pour une explication mathématique de la chose: si tu connais la suite de Fibonacci, tu reconnaîtras ici une suite faite de la fraction de ses termes successifs (2, 3, 5, 8, 13 etc... le principe étant que pour trouver un terme on additionne les deux précédents). Or quand on fait une fraction avec deux termes successifs de la suite de Fibonacci, on se rapproche du nombre d'or (dont la valeur exacte est [tex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] )
L'exercice te montre qu'on peut approcher le nombre d'or avec la suite 1+1/(1+1/(1+1/.......))
Tu pourrais faire le même en remplaçant la division par une racine carrée, ça marche aussi ;)
