Bonjour
Mathilda84
f(x) = 2x² - 4x - 6
1.Déterminer la fonction dérivée de f, noté f'
[tex]f'(x)=(2x^2-4x-6)'\\f'(x)=(2x^2)'-(4x)'-6'\\f'(x)=4x-4+0\\\\\boxed{f'(x)=4x-4}[/tex]
2.Etudier le signe de f' sur[-2;4].
[tex]\boxed{f'(x)\ \textless \ 0}\Longleftrightarrow4x-4\ \textless \ 0\Longleftrightarrow4x\ \textless \ 4\Longleftrightarrow \boxed{x\ \textless \ 1}\\\\\boxed{f'(x)=0}\Longleftrightarrow4x-4=0\Longleftrightarrow4x=4\Longleftrightarrow \boxed{x=1}\\\\\boxed{f'(x)\ \textgreater \ 0}\Longleftrightarrow4x-4\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow4x\ \textgreater \ 4\Longleftrightarrow \boxed{x\ \textgreater \ 1}[/tex]
D'où f '(x) < 0 si x ∈ [-2 ; 1[
f '(x) = 0 si x = 1
f '(x) > 0 si x ∈ ]1 ; 4]
3.Dresser le tableau de variation de f sur [-2;4]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-2&&1&&4 \\ f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&10&\searrow&-8&\nearrow&10\\ \end{array}[/tex]
4.donner une équation de T-1,tangente à la courbe de f au point d'abscisse -1,T1 tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 et,T2 tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.
Equation
de la tangente :
Si f est dérivable en a, une équation de la
tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse a est donnée
par : [tex]\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}[/tex]
Au point d'abscisse -1 :
a = -1
f(a) = f(-1) = 2*(-1)² - 4*(-1) - 6 = 2*1 + 4 - 6 = 2 + 4 - 6 = 0
f'(x) = 4x - 4 ==> f'(a) = f'(-1) = 4*(-1) - 4 = -4 - 4 = -8
D'où
[tex]T_{-1}:y=-8(x-(-1))+0\\\\T_{-1}:y=-8(x+1)\\\\\boxed{T_{-1}:y=-8x-8}[/tex]
Au point d'abscisse 1 :
a = 1
f(a) = f(1) = 2*1² - 4*1 - 6 = 2*1 - 4 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8
f'(x) = 4x - 4 ==> f'(a) = f'(1) = 4*1 - 4 = 4 - 4 = 0
D'où
[tex]T_{1}:y=0(x-1)-8\\\\T_{1}:y=0-8\\\\\boxed{T_{1}:y=-8}[/tex]
Au point d'abscisse 2 :
a = 2
f(a) = f(2) = 2*2² - 4*2 - 6 = 2*4 - 8 - 6 = 8 - 8 - 6 = -6
f'(x) = 4x - 4 ==> f'(a) = f'(2) = 4*2 - 4 = 8 - 4 = 4
D'où
[tex]T_{2}:y=4(x-2)-6\\\\T_{2}:y=4x-8-6\\\\\boxed{T_{2}:y=4x-14}[/tex]
