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Bonjour Emmadu38
1) a) Limite de f en 0.
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}(1+\ln x)=1+(-\infty)=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+} x^2=0^+ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1+\ln x}{x^2}=-\infty\\\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}[/tex]
b) Nous savons que
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0[/tex]
D'où,
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1+\ln x}{x^2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x^2})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}+\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{\ln x}{x})[/tex]
[tex]\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\times\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0+0\times0\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}[/tex]
c) La réponse a) nous indique qu'il existe une asymptote verticale d'équation : x = 0.
La réponse b) nous indique qu'il existe une asymptote horizontale d'équation : y = 0.
[tex]2)a)\ f'(x)=(\dfrac{1+\ln x}{x^2})'=\dfrac{(1+\ln x)'\times x^2-(1+\ln x)\times (x^2)'}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-(1+\ln x)\times 2x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x-2x(1+\ln x)}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x-2x-2x\ln x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{-x-2x\ln x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x(-1-2\ln x)}{x^4}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-1-2\ln x}{x^3}}[/tex]
[tex]b) -1-2\ln x\ \textgreater \ 0\\\\2\ln x\ \textless \ -1\\\\\ln x\ \textless \ -\dfrac{1}{2}\\\\x\ \textless \ e^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Signe de f '(x) :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&e^{-\frac{1}{2}}&&+\infty \\-1-2\ln x&&+&0&-&\\x^3&&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-& \end{array}[/tex]
c) Tableau de variation de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&e^{-\frac{1}{2}}&&+\infty \\f'(x)&&+&0&-& \\f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{e}{2}&\searrow&0 \end{array}[/tex]
3a) Il suffit de résoudre l'équation f(x) = 0.
[tex]\dfrac{1+\ln x}{x^2}=0\\\\1+\ln x=0\\\\\ln x=-1\\\\\boxed{x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées de l'unique point d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont (1/e ; 0).
b) Tableau de signe de f(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{1}{e}&&+\infty \\ f(x)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
4a) Nous savons que la fonction f est continue sur l'intervalle [1/e ; 2] et est positive sur cet intervalle (voir signe de f)
D'où [tex]I_2=\int\limits_{\frac{1}{e}}^2\ f(x)\ dx[/tex]
De plus nous savons par la question 3a) que [tex]0\le f(x)\le \dfrac{e}{2}[/tex]
Donc,
[tex]\int\limits_{\frac{1}{e}}^20\ dx\le \int\limits_{\frac{1}{e}}^2 f(x)\ dx\le \int\limits_{\frac{1}{e}}^2\ \dfrac{e}{2}\ dx\\\\\\0\le I_2\le [\dfrac{e}{2}\times x]\limits_{\frac{1}{e}}^2\\\\\\0\le I_2\le [\dfrac{e}{2}\times 2-\dfrac{e}{2}\times \dfrac{1}{e}]\\\\\\\boxed{0\le I_2\le e-\dfrac{1}{2}}[/tex]
[tex]b)\ I_n=\int\limits_{\frac{1}{e}}^n\ f(x)\ dx\\\\I_n=F(n)-F(\dfrac{1}{e})\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-2-\ln \dfrac{1}{e}}{\dfrac{1}{e}}\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-2-(\ln 1-\ln e)}{\dfrac{1}{e}}\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-2-(0-1)}{\dfrac{1}{e}}\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-1}{\dfrac{1}{e}}\\\\\boxed{I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}+e}[/tex]
[tex]c)\ \lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[\dfrac{-2-\ln n}{n}+e]\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[\dfrac{-2}{n}-\dfrac{\ln n}{n}+e]\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2}{n}-\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln n}{n}+\lim\limits_{n\to+\infty}e\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0+0+e\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=e}[/tex]
Par conséquent,
l'aire de la partie du plan délimité par la droite d'équation x = 1/e, l'axe des abscisses et la courbe C est égale à [tex]\boxed{e}\ unit\acute{e}s\ d'aire[/tex]
1) a) Limite de f en 0.
[tex]\left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}(1+\ln x)=1+(-\infty)=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+} x^2=0^+ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1+\ln x}{x^2}=-\infty\\\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}[/tex]
b) Nous savons que
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0[/tex]
D'où,
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1+\ln x}{x^2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x^2})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}+\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{\ln x}{x})[/tex]
[tex]\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}+\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\times\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0+0\times0\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}[/tex]
c) La réponse a) nous indique qu'il existe une asymptote verticale d'équation : x = 0.
La réponse b) nous indique qu'il existe une asymptote horizontale d'équation : y = 0.
[tex]2)a)\ f'(x)=(\dfrac{1+\ln x}{x^2})'=\dfrac{(1+\ln x)'\times x^2-(1+\ln x)\times (x^2)'}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-(1+\ln x)\times 2x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x-2x(1+\ln x)}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x-2x-2x\ln x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{-x-2x\ln x}{x^4}\\\\f'(x)=\dfrac{x(-1-2\ln x)}{x^4}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-1-2\ln x}{x^3}}[/tex]
[tex]b) -1-2\ln x\ \textgreater \ 0\\\\2\ln x\ \textless \ -1\\\\\ln x\ \textless \ -\dfrac{1}{2}\\\\x\ \textless \ e^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Signe de f '(x) :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&e^{-\frac{1}{2}}&&+\infty \\-1-2\ln x&&+&0&-&\\x^3&&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-& \end{array}[/tex]
c) Tableau de variation de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&e^{-\frac{1}{2}}&&+\infty \\f'(x)&&+&0&-& \\f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{e}{2}&\searrow&0 \end{array}[/tex]
3a) Il suffit de résoudre l'équation f(x) = 0.
[tex]\dfrac{1+\ln x}{x^2}=0\\\\1+\ln x=0\\\\\ln x=-1\\\\\boxed{x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées de l'unique point d'intersection de C avec l'axe des abscisses sont (1/e ; 0).
b) Tableau de signe de f(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{1}{e}&&+\infty \\ f(x)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
4a) Nous savons que la fonction f est continue sur l'intervalle [1/e ; 2] et est positive sur cet intervalle (voir signe de f)
D'où [tex]I_2=\int\limits_{\frac{1}{e}}^2\ f(x)\ dx[/tex]
De plus nous savons par la question 3a) que [tex]0\le f(x)\le \dfrac{e}{2}[/tex]
Donc,
[tex]\int\limits_{\frac{1}{e}}^20\ dx\le \int\limits_{\frac{1}{e}}^2 f(x)\ dx\le \int\limits_{\frac{1}{e}}^2\ \dfrac{e}{2}\ dx\\\\\\0\le I_2\le [\dfrac{e}{2}\times x]\limits_{\frac{1}{e}}^2\\\\\\0\le I_2\le [\dfrac{e}{2}\times 2-\dfrac{e}{2}\times \dfrac{1}{e}]\\\\\\\boxed{0\le I_2\le e-\dfrac{1}{2}}[/tex]
[tex]b)\ I_n=\int\limits_{\frac{1}{e}}^n\ f(x)\ dx\\\\I_n=F(n)-F(\dfrac{1}{e})\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-2-\ln \dfrac{1}{e}}{\dfrac{1}{e}}\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-2-(\ln 1-\ln e)}{\dfrac{1}{e}}\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-2-(0-1)}{\dfrac{1}{e}}\\\\I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}-\dfrac{-1}{\dfrac{1}{e}}\\\\\boxed{I_n=\dfrac{-2-\ln n}{n}+e}[/tex]
[tex]c)\ \lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[\dfrac{-2-\ln n}{n}+e]\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[\dfrac{-2}{n}-\dfrac{\ln n}{n}+e]\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2}{n}-\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln n}{n}+\lim\limits_{n\to+\infty}e\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0+0+e\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=e}[/tex]
Par conséquent,
l'aire de la partie du plan délimité par la droite d'équation x = 1/e, l'axe des abscisses et la courbe C est égale à [tex]\boxed{e}\ unit\acute{e}s\ d'aire[/tex]
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