1) f(x) = (1/4)x^4-2x²+3
f'(x) = x³-4x
f'(x) = x(x²-4)
2) f'(x) = x(x²-4)
x(x²-4) = 0
Soit x = 0
Soit x²-4 = 0
x² = 4
x = 2 et x = -2
La fonction dérivée de f s'annule donc avec les solutions S = {-2 ; 0 ; 2}
La fonction f'(x) est :
Négative sur ]-∞ ; -2[
Positive sur [-2 ; 0]
Négative sur ]0 ; 2[
Positive sur [2 ; +∞[
3)a) On sait que si la fonction dérivée est négative alors la fonction de référence est décroissante et inversement.
La fonction f(x) est :
Décroissante sur ]-∞ ; -2[
Croissante sur [-2 ; 0]
Décroissante sur ]0 ; 2[
Croissante sur [2 ; +∞[
b) Les extremums sont définis par les valeurs que prennent x lorsque la fonction dérivée est négative car ce sont en ces valeurs que la fonction f change de sens.
Les extremums de la fonction sont donc S = {-2 ; 0 ; 2}
4) Grâce au tableau de variations :
f(x) = 0 possède 4 solutions.
f(x) = 3 possède 3 solutions.
f(x) = -10 ne possède aucune solution.
5) Quand x varie dans [-2 ; 0], f(x) varie dans [-1 ; 3]
Quand x varie dans [-2 ; 2], f(x) varie dans [-1 ; 3]
6) (Représentation en pièce jointe)
