Salut à toi,
J'ai eu affaire à un exercice similaire il y a quelques temps...
Tout d'abord, notons que la V.A associée à cet exercice est: "Nombre de sujets révisés parmi les 60". Le support de cette V.A est l'ensemble {0, 1, 2, 3}. X suit une loi hypergéométrique car l'événement [X=k] (k compris entre 0 et 3) se produit si le candidat tire k sujet(s) parmi les 25 révisés, et 3-k sujet(s) parmi les 35 sujets non-révisés.
Ainsi,
1. (a) Les trois sujets ont été révisés:
[tex]P[X=3]= \frac{ C_{3} ^{25} }{C_{3} ^{60}} [/tex]
(b) Deux des trois sujets ont été révisés:
[tex]P[X=2]= \frac{ C_{2} ^{25} C_{1} ^{35} }{C_{3} ^{60}} [/tex]
(c) Aucun des trois sujets n'a été révisé:
[tex]P[X=0]= \frac{ C_{3} ^{35} }{C_{3} ^{60}}[/tex]
Donc, la loi de probabilité X est donnée sur le support {0, 1, 2, 3} par:
[tex]P[X=k]= \frac{C_{k}^{25} C_{3-k}^{35} }{ C_{3} ^{60} } [/tex]
Applications numériques:
k=0=P[X=0]≈0,191
k=1=P[X=1]≈0,435
k=2=P[X=2]≈0,307
k=3=P[X=3]≈0,067
2. Nous allons détailler le calcul du coefficient binomial [tex]C_{3} ^{25} [/tex].
[tex]C_{k} ^{n} = \frac{n!}{k!(n-k)!} [/tex]
Nous allons donc utiliser la fonction Gamma qui est un prolongement de la fonction factorielle sur l'ensemble des nombres complexes pour cette question.
Ainsi, ∀n∈IN, Γ(n+1)=n!
Grâce à la fonction eulérienne de première espèce, nous savons que:
Γ(x)= [tex] \int\limits^\infty_0 {e^{-t}. t^{x-1} } \, .dt[/tex]
donc, Γ(n+1)= [tex] \int\limits^\infty_0 {e^{-t}. t^{(n+1)-1} } \, .dt[/tex]
(r, x∈IR, et x>0)
Nous allons calculer 25!, soit: Γ(26)= [tex] \int\limits^\infty_0 {e^{-t}. t^{26-1} } \, .dt[/tex]=15511210043330985984000000
Nous avons donc calculé 25!. Faisons de même pour (25-3)!.
Γ(23)= [tex] \int\limits^\infty_0 {e^{-t}. t^{23-1} } \, .dt[/tex]=25852016738884976640000
À présent, il nous reste plus qu'à changer ce qui a été calculé, et d'effectuer les derniers calculs, à la calculatrice.
Donc,[tex]C_{3} ^{25} =2300[/tex]
3. E(X)=np (L'espérance est la même que celle de la loi binomiale).
E(X)=1,25.
Voilà, j'espère avoir été clair.
