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Bonjour Sweays
Figure en pièce jointe
1) ABCD est un parallélogramme si et seulement si [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(1-(-3);-2-(-1))=(1+3;-2+1)\\\boxed{\overrightarrow{AB}:(4;-1)}\\\\\overrightarrow{DC}:(x_C-x_D;y_C-y_d)=(0-(-4);-7-(-6))=(0+4;-7+6)\\\boxed{\overrightarrow{DC}:(4;-1)}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}}[/tex]
Par conséquent, ABCD est un parallélogramme.
2) L'équation réduite de la droite (AC) est de la forme : y = ax + b.
Recherche du coefficient directeur a :
[tex]a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{-7-(-1)}{0-(-3)}=\dfrac{-7+1}{0+3}=\dfrac{-6}{3}=-2\\\\\Longrightarrow\boxed{a=-2}[/tex]
L'équation de la droite (AC) est donc de la forme y = -2x + b.
Recherche de la valeur de b.
Le point C(0;-7) appartient à la droite (AC) ==> dans l'équation y=-2x+b, nous pouvons remplacer x par 0 et y par -7.
[tex]-7=-2\times0+b\\-7=0+b\\\Longrightarrow\boxed{b=-7}[/tex]
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AC) est y = -2x - 7
3) Le point E est le symétrique du point D par rapport à C.
Donc C est le milieu du segment [ED]
[tex](x_C;y_C)=(\dfrac{x_E+x_D}{2};\dfrac{y_E+y_D}{2})\\\\(0;-7)=(\dfrac{x_E-4}{2};\dfrac{y_E-6}{2})\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_E-4}{2}=0\\\dfrac{y_E-6}{2}=-7\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_E-4=0\times2\\y_E-6=-7\times2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_E-4=0\\y_E-6=-14\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_E=0+4\\y_E=-14+6\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_E=4\\y_E=-8\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point E sont [tex]\boxed{E:(4;-8)}[/tex]
4) Le point F appartient à la droite (AC) et son abscisse est -1.
Donc, dans l'équation de (AC), nous pouvons remplacer x par -1 et déterminer l'ordonnée y.
[tex]y=-2\times(-1)-7\\y=2-7\\y=-5[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point F sont [tex]\boxed{F(-1;-5)}[/tex]
5) Le point I est le milieu du segment [AE]
[tex](x_I;y_I)=(\dfrac{x_A+x_E}{2};\dfrac{y_A+y_E}{2})=(\dfrac{-3+4}{2};\dfrac{-1-8}{2})=(\dfrac{1}{2};\dfrac{-9}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{I(\dfrac{1}{2};\dfrac{-9}{2})}[/tex]
6) Montrons que les points D, F et I sont alignés en montrant que les vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{IF}[/tex] sont colinéaires.
[tex]\overrightarrow{DF}:(x_F-x_D;y_F-y_D)=(-1-(-4);-5-(-6))=(-1+4;-5+6)\\\boxed{\overrightarrow{DF}:(3;1)}\\\\\\\overrightarrow{IF}:(x_F-x_I;y_F-y_i)=(-1-\dfrac{1}{2};-5-(-\dfrac{9}{2}))\\=(-\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2};-\dfrac{10}{2}+\dfrac{9}{2})\\\boxed{\overrightarrow{IF}:(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2})}[/tex]
Montrons que le déterminant de ces vecteurs est égal à 0.
[tex]3\times(-\dfrac{1}{2})-1\times(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=\boxed{0}[/tex]
Puisque ce déterminant est nul, on en déduit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{IF}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points D, F et I sont alignés.
Dans le triangle ADE,
le segment [AC] est une médiane issue de A car C est le milieu de [DE]
le segment [DI] est une médiane issue de D car I est le milieu de [AE].
Le point F est l'intersection de ces deux médianes.
Par conséquent, le point F est le centre de gravité du triangle ADE.
7) L'équation réduite de la droite (DF) est de la forme : y = ax + b.
Recherche du coefficient directeur a :
[tex]a=\dfrac{y_F-y_D}{x_F-x_D}=\dfrac{-5-(-6)}{-1-(-4)}=\dfrac{-5+6}{-1+4}=\dfrac{1}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{a=\dfrac{1}{3}}[/tex]
L'équation de la droite (DF) est donc de la forme y = (1/3)x + b.
Recherche de la valeur de b.
Le point D(-4;-6) appartient à la droite (DF) ==> dans l'équation y=(1/3)x+b, nous pouvons remplacer x par -4 et y par -6.
[tex]-6=\dfrac{1}{3}\times(-4)+b\\\\-6=-\dfrac{4}{3}+b\\\\b=-6+\dfrac{4}{3}\\\\b=-\dfrac{18}{3}+\dfrac{4}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{b=-\dfrac{14}{3}}[/tex]
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (DF) est [tex]\boxed{y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3}}[/tex]
8) La droite (DF) est sécante à l'axe des abscisses car son coefficient directeur 1/3 est différent de 0.
Coordonnées de G:
Nous savons que l'ordonnée de G est nulle puisque le ^point G appartient à l'axe des abscisses.
Dans l'équation de (DF), remplaçons y par 0 et déterminons la valeur de x.
[tex]\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3}=0\\\\3\times(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3})=3\times0\\\\x-14=0\\\\x=14[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point G sont (14 ; 0)
Figure en pièce jointe
1) ABCD est un parallélogramme si et seulement si [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(1-(-3);-2-(-1))=(1+3;-2+1)\\\boxed{\overrightarrow{AB}:(4;-1)}\\\\\overrightarrow{DC}:(x_C-x_D;y_C-y_d)=(0-(-4);-7-(-6))=(0+4;-7+6)\\\boxed{\overrightarrow{DC}:(4;-1)}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}}[/tex]
Par conséquent, ABCD est un parallélogramme.
2) L'équation réduite de la droite (AC) est de la forme : y = ax + b.
Recherche du coefficient directeur a :
[tex]a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{-7-(-1)}{0-(-3)}=\dfrac{-7+1}{0+3}=\dfrac{-6}{3}=-2\\\\\Longrightarrow\boxed{a=-2}[/tex]
L'équation de la droite (AC) est donc de la forme y = -2x + b.
Recherche de la valeur de b.
Le point C(0;-7) appartient à la droite (AC) ==> dans l'équation y=-2x+b, nous pouvons remplacer x par 0 et y par -7.
[tex]-7=-2\times0+b\\-7=0+b\\\Longrightarrow\boxed{b=-7}[/tex]
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AC) est y = -2x - 7
3) Le point E est le symétrique du point D par rapport à C.
Donc C est le milieu du segment [ED]
[tex](x_C;y_C)=(\dfrac{x_E+x_D}{2};\dfrac{y_E+y_D}{2})\\\\(0;-7)=(\dfrac{x_E-4}{2};\dfrac{y_E-6}{2})\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_E-4}{2}=0\\\dfrac{y_E-6}{2}=-7\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_E-4=0\times2\\y_E-6=-7\times2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_E-4=0\\y_E-6=-14\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_E=0+4\\y_E=-14+6\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_E=4\\y_E=-8\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point E sont [tex]\boxed{E:(4;-8)}[/tex]
4) Le point F appartient à la droite (AC) et son abscisse est -1.
Donc, dans l'équation de (AC), nous pouvons remplacer x par -1 et déterminer l'ordonnée y.
[tex]y=-2\times(-1)-7\\y=2-7\\y=-5[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point F sont [tex]\boxed{F(-1;-5)}[/tex]
5) Le point I est le milieu du segment [AE]
[tex](x_I;y_I)=(\dfrac{x_A+x_E}{2};\dfrac{y_A+y_E}{2})=(\dfrac{-3+4}{2};\dfrac{-1-8}{2})=(\dfrac{1}{2};\dfrac{-9}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{I(\dfrac{1}{2};\dfrac{-9}{2})}[/tex]
6) Montrons que les points D, F et I sont alignés en montrant que les vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{IF}[/tex] sont colinéaires.
[tex]\overrightarrow{DF}:(x_F-x_D;y_F-y_D)=(-1-(-4);-5-(-6))=(-1+4;-5+6)\\\boxed{\overrightarrow{DF}:(3;1)}\\\\\\\overrightarrow{IF}:(x_F-x_I;y_F-y_i)=(-1-\dfrac{1}{2};-5-(-\dfrac{9}{2}))\\=(-\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2};-\dfrac{10}{2}+\dfrac{9}{2})\\\boxed{\overrightarrow{IF}:(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2})}[/tex]
Montrons que le déterminant de ces vecteurs est égal à 0.
[tex]3\times(-\dfrac{1}{2})-1\times(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=\boxed{0}[/tex]
Puisque ce déterminant est nul, on en déduit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{IF}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points D, F et I sont alignés.
Dans le triangle ADE,
le segment [AC] est une médiane issue de A car C est le milieu de [DE]
le segment [DI] est une médiane issue de D car I est le milieu de [AE].
Le point F est l'intersection de ces deux médianes.
Par conséquent, le point F est le centre de gravité du triangle ADE.
7) L'équation réduite de la droite (DF) est de la forme : y = ax + b.
Recherche du coefficient directeur a :
[tex]a=\dfrac{y_F-y_D}{x_F-x_D}=\dfrac{-5-(-6)}{-1-(-4)}=\dfrac{-5+6}{-1+4}=\dfrac{1}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{a=\dfrac{1}{3}}[/tex]
L'équation de la droite (DF) est donc de la forme y = (1/3)x + b.
Recherche de la valeur de b.
Le point D(-4;-6) appartient à la droite (DF) ==> dans l'équation y=(1/3)x+b, nous pouvons remplacer x par -4 et y par -6.
[tex]-6=\dfrac{1}{3}\times(-4)+b\\\\-6=-\dfrac{4}{3}+b\\\\b=-6+\dfrac{4}{3}\\\\b=-\dfrac{18}{3}+\dfrac{4}{3}\\\\\Longrightarrow\boxed{b=-\dfrac{14}{3}}[/tex]
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (DF) est [tex]\boxed{y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3}}[/tex]
8) La droite (DF) est sécante à l'axe des abscisses car son coefficient directeur 1/3 est différent de 0.
Coordonnées de G:
Nous savons que l'ordonnée de G est nulle puisque le ^point G appartient à l'axe des abscisses.
Dans l'équation de (DF), remplaçons y par 0 et déterminons la valeur de x.
[tex]\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3}=0\\\\3\times(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3})=3\times0\\\\x-14=0\\\\x=14[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point G sont (14 ; 0)
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