Bonjour Design971
3. a) Donner une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +oo[.
[tex]f(t)=25-23,7e^{-0,03t}\\\\\Longrightarrow F(t)=25t-23,7\times\dfrac{1}{-0,03}e^{-0,03t}\\\\F(t)=25t+\dfrac{23,7}{0,03}e^{-0,03t}\\\\\boxed{F(t)=25t+790e^{-0,03t}}[/tex]
Par conséquent,
une primitive F de la fonction f est définie par [tex]\boxed{F(t)=25t+790e^{-0,03t}}[/tex]
b) Calculer V(t)
[tex]V(t)=\dfrac{1}{2}\int\limits_{t-2}^tf(u)\,du\\\\V(t)=\dfrac{1}{2}[F(t)-F(t-2)]\\\\V(t)=\dfrac{1}{2}[(25t+790e^{-0,03t})-(25(t-2)+790e^{-0,03(t-2)})]\\\\V(t)=\dfrac{1}{2}[25t+790e^{-0,03t}-25(t-2)-790e^{-0,03(t-2)}]\\\\V(t)=\dfrac{1}{2}[25t+790e^{-0,03t}-25t+50-790e^{-0,03t}\times e^{-0,03\times(-2)}}]\\\\V(t)=\dfrac{1}{2}[50+790e^{-0,03t}-790e^{-0,03t}\times e^{0,06}}]\\\\V(t)\approx\dfrac{1}{2}[50+790e^{-0,03t}-838,85e^{-0,03t}}]\\\\V(t)\approx\dfrac{1}{2}[50-48,85e^{-0,03t}}][/tex]
[tex]\\\\\boxed{V(t)\approx25-24,4e^{-0,03t}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{V(t)\approx25+Ae^{-0,03t}\ \ avec\ \ A=-24,4}[/tex]
c) Résoudre l’équation : 25 - 24,4 exp(−0,03t) = 14
[tex]25-24,4 e^{-0,03t}=14\\\\24,4 e^{-0,03t}=25-14\\\\24,4 e^{-0,03t}=11\\\\ e^{-0,03t}=\dfrac{11}{24,4}\\\\-0,03t=\ln(\dfrac{11}{24,4})\\\\-0,03t\approx-0,796\\\\t\approx\dfrac{-0,796}{-0,03}\\\\\boxed{t\approx26,556}[/tex]
d) Donner une valeur approchée au dixième de la solution T de cette équation.
[tex]\boxed{T\approx26,6}[/tex]
e) Que représente T dans le contexte de l’exercice ?
La fermeture des vannes est déclenchée au moment T ≈ 26,6.
