Bonjour Design971
[tex]g(x)=\dfrac{-871}{x-70}+87,5[/tex]
1) a) Déterminer une primitive G de la fonction g.
[tex]g(x)=-871\times\dfrac{1}{x-70}+87,5[/tex]
==> g(x) est de la forme [tex]-871\times\dfrac{u'(x)}{u(x)}+87,5[/tex] avec u(x)=x - 70.
Sachant que x ∈ [85;+oo[, nous savons que x - 70 > 0.
Donc une primitive G de la fonction g est définie par [tex]\boxed{G(x)=-871\ln(x-70) + 87,5 x}[/tex]
[tex]b)\ \int\limits_{85}^{110}g(x)\,dx=[G(x)]\limits_{85}^{110}\\\\\int\limits_{85}^{110}g(x)\,dx=[G(110)-G(85)]\\\\=[-871\ln(110-70) + 87,5\times110]-[-871\ln(85-70) + 87,5\times85][/tex]
[tex]=-871\ln40 + 9625+871\ln15 - 7437,5\\\\=871\ln15-871\ln40+2187,5\\\\=871(\ln15-\ln40)+2187,5\\\\=871\ln(\dfrac{15}{40})+2187,5\\\\=871\ln(\dfrac{3}{8})+2187,5[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\int\limits_{85}^{110}g(x)\,dx=871\ln(\dfrac{3}{8})+2187,5}[/tex]
c) En déduire une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [ 85 ; 110 ].
La valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [ 85 ; 110 ] est donnée par :
[tex]\dfrac{1}{110-85}\int\limits_{85}^{110}g(x)\,dx[/tex]
Or
[tex]\dfrac{1}{110-85}\int\limits_{85}^{110}g(x)\,dx=\dfrac{1}{25}\times[871\ln(\dfrac{3}{8})+2187,5]\approx53,3[/tex]
D'où, une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [ 85 ; 110 ] est 53,3.
