Bonjour Maximedegrange
[tex]1)\ Z=f(z)=\dfrac{z-2+i}{z+2i}=\dfrac{x+iy-2+i}{x+iy+2i}=\dfrac{(x-2)+i(y+1)}{x+i(y+2)}\\\\\\=\dfrac{[(x-2)+i(y+1)][x-i(y+2)]}{[x+i(y+2)][x-i(y+2)]}\\\\\\=\dfrac{[x(x-2)+(y+1)(y+2)]+i[x(y+1)-(x-2)(y+2)]}{[x^2+(y+2)^2}\\\\\\=\dfrac{[x^2+y^2-2x+3y+2]+i[-x+2y+4]}{x^2+(y+2)^2}\\\\\\=\dfrac{x^2+y^2-2x+3y+2}{{x^2+(y+2)^2}}+i\dfrac{-x+2y+4}{x^2+(y+2)^2}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{Re(Z)=\dfrac{x^2+y^2-2x+3y+2}{{x^2+(y+2)^2}}}\ et\ \boxed{Im(Z)=\dfrac{-x+2y+4}{x^2+(y+2)^2}}[/tex]
2) a) Ensemble E :
[tex]Z\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow z\neq-2i\ \ et\ \ Im(Z)=0\\\\Z\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow x+iy\neq-2i\ \ et\ \ \dfrac{-x+2y+4}{x^2+(y+2)^2}=0\\\\Z\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow (x;y)\neq(0;-2)\ \ et\ \ -x+2y+4=0[/tex]
Par conséquent,
L’ensemble E est la droite d’équation -x+2y+4=0 privée du point de coordonnées (0,−2).
b) Ensemble F :
[tex]Z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R^*}\Longleftrightarrow z\neq-2i\ \ et\ \ Re(Z)=0\\\\\Longleftrightarrow x+iy\neq-2i\ \ et\ \ \dfrac{x^2+y^2-2x+3y+2}{{x^2+(y+2)^2}}=0\\\\\Longleftrightarrow (x;y)\neq(0;-2)\ \ et\ \ x^2+y^2-2x+3y+2=0\\\\\Longleftrightarrow (x;y)\neq(0;-2)\ \ et\ \ x^2-2x+1+y^2+3y+\dfrac{9}{4}=1+\dfrac{9}{4}-2\\\\\Longleftrightarrow (x;y)\neq(0;-2)\ \ et\ \ (x-1)^2+(y+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{5}{4}[/tex]
Par conséquent,
L’ensemble F est le cercle d'équation [tex](x-1)^2+(y+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{5}{4}[/tex] privé du point de coordonnées (0,−2).
Ce cercle est centré en (1;-3/2) et son rayon est égal à [tex]\dfrac{\sqrt{5}}{2}[/tex]
c) Graphique en pièce jointe.
3) a) Ensemble E :
[tex]Z=\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\\\\Z\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow z\neq-2i\ \ et\ [Arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=0[\pi]\ ou\ Z=0]\\\\\Longleftrightarrow x+iy\neq-2i\ \ et\ \ [(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MA})=0\ ou\ M=A][/tex]
Par conséquent,
L’ensemble E est la droite (AB) privée du point de coordonnées B(0,−2).
b) Ensemble F :
[tex]Z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R^*}\Longleftrightarrow z\neq-2i\ \ et\ [Arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\ ou\ Z=0]\\\\\Longleftrightarrow x+iy\neq-2i\ \ et\ \ [(\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MA})=\dfrac{\pi}{2}\ ou\ M=A][/tex]
Par conséquent,
L’ensemble F est le cercle de diamètre [AB], ce cercle étant privé du point de coordonnées B(0,−2).
c) Ensemble G :
[tex]|Z|=1\\\\\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right|=1\\\\\dfrac{|z-z_A|}{|z-z_B|}=1\\\\\dfrac{MA}{MB}=1\\\\MA=MB[/tex]
Par conséquent,
L'ensemble G est la médiatrice du segment [AB].
[tex]4)\ |f(z)-1||z+2i|=\left|\dfrac{z-2+i}{z+2i}-1\right||z+2i|\\\\=\left|\dfrac{z-2+i-z-2i}{z+2i}\right||z+2i|\\\\=\left|\dfrac{-2-i}{z+2i}\right||z+2i|\\\\\\=\dfrac{|-2-i|}{|z+2i|}|z+2i|\\\\=|-2-i|\\\\=\sqrt{5}[/tex]
D'où
[tex]|f(z)-1||z+2i|=\sqrt{5}\\\\\Longleftrightarrow|f(z)-1||z-z_B|=\sqrt{5}\\\\\Longleftrightarrow|f(z)-1|\sqrt{5}=\sqrt{5}\\\\\Longleftrightarrow|f(z)-1|=1[/tex]
Par conséquent,
les points M’ d’affixe Z appartiennent au cercle de centre C d’affixe 1 et de rayon 1.
