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résolu

Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons :

a)2x + 5y =7
3x + 4y =-3

b)3x + 5y =2
5x + 2y =-1

c)2x - 5y =-1
3x + 7y =4

Répondre :

a)2x + 5y =7===>solution, le couple (x;y) = (2;3)
3x + 4y =-3

Le système est composé des deux équations suivantes :

5x − 2y = 4 (L1)

et

2x + 3y = 13 (L2)

Le déterminant est bien non nul : 5×3 − (−2)×2 .

En multipliant par 3 tous les coefficients de la première équation et par 2 tous les coefficients de la seconde, on obtient :

15x − 6y = 12 (L1)

4x + 6y = 26 (L2) .

Par addition membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :

15x + 4x = 12 + 26

19x = 38

x = 2.

En multipliant par 2 tous les coefficients de la première équation et par 5 tous les coefficients de la seconde, on obtient :

10x − 4y = 8 (L1)

10x + 15y = 65 (L2) .

Par soustraction membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :

15y + 4y = 65 − 8

19y = 57

y = 3.

Le système a pour solution, le couple (x;y) = (2;3)

Remarque : l'intérêt de calculer x et y séparément, c'est si l'on se trompe dans le premier calcul, on peut malgré tout avoir le bon résultat dans le deuxième.

 
b)3x + 5y =2 ====> solution, le couple (x;y) = (2;3)
5x + 2y =-1
Le système est composé des deux équations suivantes :

5x − 2y = 4 (L1)

et

2x + 3y = 13 (L2)

Le déterminant est bien non nul : 5×3 − (−2)×2 .

En multipliant par 3 tous les coefficients de la première équation et par 2 tous les coefficients de la seconde, on obtient :

15x − 6y = 12 (L1)

4x + 6y = 26 (L2) .

Par addition membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :

15x + 4x = 12 + 26

19x = 38

x = 2.

En multipliant par 2 tous les coefficients de la première équation et par 5 tous les coefficients de la seconde, on obtient :

10x − 4y = 8 (L1)

10x + 15y = 65 (L2) .

Par soustraction membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :

15y + 4y = 65 − 8

19y = 57

y = 3.

Le système a pour solution, le couple (x;y) = (2;3)

Remarque : l'intérêt de calculer x et y séparément, c'est si l'on se trompe dans le premier calcul, on peut malgré tout avoir le bon résultat dans le deuxième.

c)2x - 5y =-1 solution, le couple (x;y) = (2;3)
3x + 7y =4

Le système est composé des deux équations suivantes :

5x − 2y = 4 (L1)

et

2x + 3y = 13 (L2)

Le déterminant est bien non nul : 5×3 − (−2)×2 .

En multipliant par 3 tous les coefficients de la première équation et par 2 tous les coefficients de la seconde, on obtient :

15x − 6y = 12 (L1)

4x + 6y = 26 (L2) .

Par addition membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :

15x + 4x = 12 + 26

19x = 38

x = 2.

En multipliant par 2 tous les coefficients de la première équation et par 5 tous les coefficients de la seconde, on obtient :

10x − 4y = 8 (L1)

10x + 15y = 65 (L2) .

Par soustraction membre à membre des 2 équations dans la seconde, on obtient :

15y + 4y = 65 − 8

19y = 57

y = 3.

Le système a pour solution, le couple (x;y) = (2;3)

Remarque : l'intérêt de calculer x et y séparément, c'est si l'on se trompe dans le premier calcul, on peut malgré tout avoir le bon résultat dans le deuxième.

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