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TRISTAN16VIZ
résolu

bonjour j'ai un DM de maths a rendre et je ne comprend pas
Sujet: ABCD est un carré de côtés 1.
On place les points E et F respectivement sur les côtés [AB] et [BC]tels que EB=BF.
on souhaite déterminer le maximum de l'aire du triangle EFD.
on pose x=EB=BF et f(x)l'aire du triangle EFD.

Question:
1) A quel ensemble appartient la variable x ?
2)Exprimer, en fonction de x les aires des triangles EBF, AED et CDF. En déduire l'expression développée de f(x).
3 a) Résoudre l'équation f(x)=0.
b) En déduire" l'abscisse du sommet de la parabole représentant f.quelle est son ordonnée
4)Dresser le tableau de variation de f et conclure

Répondre :

Bonjour,
1) E et F sont sur AB et BC qui ont pour longueur 1 donc EB et BF ≤1
Donc 0≤x≤1

2) EBF, AED et CDF sont rectangles respectivement en B, A et C
Aire EBF=1/2*EB*BF=x²/2
Aire AED=1/2*AE*AD=1/2*(1-x)*1=(1-x)/2
Aire CDF=1/2*CD*CF=1/2*1*(1-x)=(1-x)/2
f(x)=AireABCD-AireEBF-AireAED-AireCDF=1-x²/2-(1-x)/2-(1-x)/2
f(x)=1-x²/2+x-1=x-x²/2

3a) f(x)=0
⇔x-x²/2=0
⇔x(1-x/2)=0
⇔x=0 ou x=2

3b) f(0)=f(2)=0 donc l'abscisse du sommet est le milieu de (0;0) et (2;0) soit (1;0). Donc le sommet de la parabole est en x=1
f(1)=1-1²/2=1-1/2=1/2

4)
x            0                         1                       2
f(x)               croissante        décroissante
L'aire maximum pour EFD est pour x=1 soit quand A et E sont confondus de meme que F et C. L'aire est alors de 1/2
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