Bonjour Design971
[tex]f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}[/tex]
[tex]1)\ f'(x)=\dfrac{[\ln(x)]'\times x-\ln(x)\times x'}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times 1}{x^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}}[/tex]
[tex]2)\ 1-\ln(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow\ln(x)\ \textless \ 1\Longleftrightarrow0\ \textless \ x\ \textless \ e^1\Longleftrightarrow0\ \textless \ x\ \textless \ e[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation 1 - ln(x) > 0 sur l'intervalle [1 ; e] est [1 ; e]
On en déduit que la dérivée f'(x) est positive sur l'intervalle [1 ; e].
Donc f est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; e]
3) Courbe en pièce jointe.
4) [tex]I=\int\limits_1^e\dfrac{\ln(x)}{x}\,dx\\\\I=\int\limits_1^e\ln(x)\times\dfrac{1}{x}\,dx\\\\u(x)=\ln(x)\Longrightarrow u'(x)=\dfrac{1}{x}\\\\v'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow v(x)=\ln(x)[/tex]
D'où
[tex]I=[\ln(x)\times\ln(x)]\limits_1^e-\int\limits_1^e\dfrac{1}{x}\times \ln(x)\,dx\\\\I=[\ln(x)\times\ln(x)]\limits_1^e-\int\limits_1^e\dfrac{\ln(x)}{x}\,dx\\\\I=[\ln^2(x)]\limits_1^e-I\\\\I+I=[\ln^2(x)]\limits_1^e\\\\2I=[\ln^2(x)]\limits_1^e\\\\I=\dfrac{1}{2}[\ln^2(x)]\limits_1^e\\\\I=\dfrac{1}{2}[\ln^2(e)-\ln^2(1)]\\\\I=\dfrac{1}{2}[1^2-0^2]\\\\\boxed{I=\dfrac{1}{2}}[/tex]
5) Pour la Casio GRAPH35+
Mode RUN
F4 pour MATH
F6, puis F pour la commande INTEGRALE
Encoder la fonction et les bornes.
EXE
La réponse est 1/2.
6) L’aire du domaine D compris entre Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e est égale à 1/2 unité carré.
Puisque l'unité est égale à 5 cm, l'unité carré est égale à 25 cm².
D'où 1/2 unité carré = 1/2 * 25 cm² = 12,5 cm².
Par conséquent,
l’aire en cm² du domaine D compris entre Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e est égale à 12,5 cm².
