Désolé pour l'erreur.
On pose a=√3 /4 et b=4/9.
[tex] A_{0}=a [/tex]
[tex] A_{1}=a+\frac{ab^0}{3}=a*\frac{4}{3} [/tex]
[tex] A_{2}=A_{1}+\frac{ab^1}{3}=a*\frac{4}{3}+\frac{ab}{3}=\frac{a}{3}*(4+b) [/tex]
[tex] A_{3}=A_{2}+\frac{ab^2}{3}=\frac{a}{3}(4+b+b^2) [/tex]
[tex] A_{4}=A_{3}+\frac{ab^3}{3}=\frac{a}{3}(4+b+b^2+b^3) [/tex]
[tex] A_{n}=\frac{a}{3}(4+b+b^2+b^3+...+b^{n-1})\\[/tex]
[tex]=\frac{a}{3}(3+1+b+b^2+b^3+...+b^{n-1})\\[/tex]
[tex]=\frac{a}{3}*(3+\frac{b^{n}-1}{b-1})\\[/tex]
[tex]
A_{n}=\frac{\sqrt{3}}{12}*(3+\frac{(\frac{4}{9})^{n}-1}{-\frac{5}{9}})\\=\frac{\sqrt{3}}{12}*(3+\frac{1-(\frac{4}{9})^{n}}{\frac{5}{9}})\\=\frac{\sqrt{3}}{20}*(5+3(1-(\frac{4}{9})^{n})\\
[/tex]
A vérifier !!!
