Bonjour Igore,
1) Intersection de (P) et de (D).
[tex]a)\ (P):\left\{\begin{matrix}x=3+3r+s\\y=1+r\\z=2+r-s \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x+z=(3+3r+s)+(2+r-s)\\y-1=r \end{matrix}\right.\\\\\\(P):\left\{\begin{matrix}x+z=4r+5\\r=y-1 \end{matrix}\right.\\\\\\(P):x+z=4(y-1)+5\\\\(P):x+z=4y-4+5\\\\\boxed{(P):x-4y+z-1=0}[/tex]
b) Un vecteur normal du plan (P) est [tex]\overrightarrow{n}(1;-4;1)[/tex]
Un vecteur directeur de la droite (D) est [tex]\overrightarrow{u}(1;1;3)[/tex]
Ces deux vecteurs sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul.
En effet,
[tex]\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=1\times1-4\times1+1\times3=1-4+3=0[/tex]
D'où, la droite (D) est parallèle au plan (P).
De plus cette droite n'est pas incluse au plan car le point B(1;4;2) appartenant à (D) n'appartient pas au plan (P) car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de (P).
En effet :
[tex]1-4\times4+2 - 1=1-16+1=-14\neq0 [/tex]
Par conséquent, la droite (D) est strictement parallèle au plan (P).
2) Intersection de (P) et de (D).
a) Le point A(3;1;2) appartient au plan (P) car ses coordonnées vérifient l'équation de (P).
En effet
[tex]3-4\times1+2-1=3-4+1=0[/tex]
De plus la droite [tex](\Omega A)[/tex] est perpendiculaire au plus (P) car les vecteurs [tex]\overrightarrow{\Omega A}[/tex] et [tex]\overrightarrow{n}[/tex] sont colinéaires.
En effet :
[tex]\overrightarrow{\Omega A}(x_A-x_\Omega;y_A-y_\Omega;z_A-z_\Omega)=(3-1;1-9;2-0)\\\\\overrightarrow{\Omega A}(2;-8;2)\\\\\overrightarrow{\Omega A}(2;-8;2)\ et\ \overrightarrow{n}(1;-4;1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{\Omega A}=2\overrightarrow{n}}[/tex]
Par conséquent, le point A est le projeté orthogonal de [tex]\Omega[/tex] sur le plan (P).
b) On en déduit que le plan (P) est tangent à la sphère (S).
3) Intersection de D) et de (S).
[tex]a)\ (D):\left\{\begin{matrix}x=1+1\times r\\y=4+1\times r\\z=2+3\times r \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{(D):\left\{\begin{matrix}x=1+r\\y=4+ r\\z=2+3r \end{matrix}\right.}[/tex]
[tex]b)\ (S):(x-1)^2+(y-9)^2+(z-0)^2=\Omega A^2\\\\(S):(x-1)^2+(y-9)^2+z^2=\Omega A^2\\\\Or\ \ \Omega A^2=(3-1)^2+(1-9)^2+(2-0)^2\\\\\Omega A^2=2^2+(-8)^2+2^2=4+64+4=72\\\\\Longrightarrow\boxed{(S):(x-1)^2+(y-9)^2+z^2=72}[/tex]
c) Montrons que le système composé par les équations de (D) et de (S) possède deux solutions distinctes.
[tex]\left\{\begin{matrix}x=1+r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=4+ r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=2+3r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\(x-1)^2+(y-9)^2+z^2=72 \end{matrix}\right.\\\\\\(1+r-1)^2+(4+r-9)^2+(2+3r)^2=72\\\\r^2+(r-5)^2+(2+3r)^2=72\\\\r^2+r^2-10r+25+4+12r+9r^2=72\\\\11r^2+2r-43=0\\\\\Delta=2^2-4\times11\times(-43)=4+1892=1896\ \textgreater \ 0[/tex]
Puisque le discriminant de l'équation du second degré en r est strictement positif, l'équation en r possède deux solutions distinctes.
D'où le système admet deux solutions distinctes.
Par conséquent, la droite (D) et la sphère (S) possèdent deux points communs distincts.
